給定如下的單輸入—單輸出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程
(1)
式中，k表示kt時刻；t為采樣周期；y(k)，u(k)分別為kt時刻的輸出量和輸入量；和b0為表征系統(tǒng)特性的常系數(shù)?？梢匀缦逻x取狀態(tài)變量
可得如下所示的動態(tài)方程
寫成向量—矩陣形式為
可以簡記為式的形式。式中，a為友矩陣；a, b為能控標(biāo)準(zhǔn)型。d為零矩陣。
線性定常離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。
圖1 線性定常離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
由于矩陣d只表示輸入對輸出的直接傳遞作用的強(qiáng)弱，不影響系統(tǒng)狀態(tài)，不影響系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性質(zhì)，所以在狀態(tài)空間描述中，常常不考慮矩陣d的影響。這時系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為
(2a)
(2b)
（1）求解離散動態(tài)方程
采用遞推方法解矩陣差分方程是很方便的，尤其適用于編寫計算機(jī)程序求解。令式中的 ，可得到t,2t,…,kt時刻的狀態(tài)，即
(3)
式(3)即為線性定常離散狀態(tài)方程的解。又稱離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。式中，記，則為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且滿足。因此式(3)又可以表示為
(4)
將式(3)和(4)分別代入到式(b)中，可得輸出表達(dá)式為
(5a)
或
(5b)
式(3)和(4)給出了完整的線性定常離散動態(tài)方程的解的形式。
在第三章中介紹過，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的特征根，也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，若系統(tǒng)所有的特征根均在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這一結(jié)論也適合于本章中討論的線性定常離散系統(tǒng)。
（2）離散動態(tài)方程與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系
給出了脈沖傳遞函數(shù)，可以用不同形式的狀態(tài)方程和輸出方程表示；同樣，給出了狀態(tài)方程和輸出方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)或脈沖傳遞矩陣（多輸入—多輸出系統(tǒng)對應(yīng)著傳遞函數(shù)矩陣）。
重寫線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程
對上面方程兩端求z變換，可得
(6a)
(6b)
在零初始狀態(tài)下，整理式(6)，可得
(7)
因此，系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣為
(8)
g(z)的逆z變換稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣(對單輸入單輸出系統(tǒng)稱為脈沖響應(yīng)序列)，即
(9)
將式(7.12a)進(jìn)行逆z變換可得
(10)
比較式(1)和(10)，有
(11)
根據(jù)z變換的實(shí)數(shù)位移定理，式(8)可表示為
(12)
式中，表示k=0時刻的單位脈沖函數(shù)。
當(dāng)k＜1時，，因此，上式又可寫成