(1) 積分飽和作用及其抑制
無(wú)論采用何種計(jì)算方法，其控制輸出從數(shù)學(xué)上講可在(-∞,+∞)范圍內(nèi)取值，但物理執(zhí)行元件的機(jī)械和物理性能是有約束的，即輸入u(t)的取值是在有限范圍內(nèi)，表示為umin≤u≤umax，同時(shí)其變化率也受限制，表示為。
控制系統(tǒng)在啟動(dòng)、停止或者大幅度提降給定值等情況下，系統(tǒng)輸出會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，這種較大偏差，不可能在短時(shí)間內(nèi)消除，經(jīng)過(guò)積分項(xiàng)累積后，可能會(huì)使控制量u(k)很大，甚至超過(guò)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的極限umax。另外，當(dāng)負(fù)誤差的絕對(duì)值較大時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)u<umin的另一種極端情況。顯然，當(dāng)控制量超過(guò)執(zhí)行機(jī)構(gòu)極限時(shí)，控制作用必然不如應(yīng)有的計(jì)算值理想，從而影響控制效果。這類(lèi)現(xiàn)象在給定值突變時(shí)容易發(fā)生，而且在起動(dòng)時(shí)特別明顯，故稱(chēng)“起動(dòng)效應(yīng)”。下面以給定值突變?yōu)槔f(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。
圖5.12 pid算法的積分飽和現(xiàn)象
假設(shè)給定值從0突變到r*。首先假定執(zhí)行機(jī)構(gòu)不存在極限，則當(dāng)有r*突變量時(shí)，產(chǎn)生很大的偏差e，根據(jù)位置算式算出的控制量u很大，輸出量y因此很快上升。然而在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，由于e保持較大，因此控制量u保持上升。只有當(dāng)e減小到某個(gè)值時(shí)，u才不再增加，然后開(kāi)始下降。當(dāng)y等于r*時(shí)，由于控制作用u很大，所以輸出量繼續(xù)上升，使輸出出現(xiàn)超調(diào)，e變負(fù)，于是使積分項(xiàng)減少，u因此下降較快。當(dāng)y下降到小于r*時(shí)，偏差又變正，于是u又有所回升。之后，由于y趨向穩(wěn)定，因此u趨向u0。但是在實(shí)際控制過(guò)程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)是存在極限的，即當(dāng)u>umax只能取umax。在umax作用下，系統(tǒng)輸出將上升，但不及在計(jì)算值u作用下迅速，從而使e在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持較大的正值，于是又使積分項(xiàng)有很大的積累值。當(dāng)輸出達(dá)到設(shè)定值后，控制作用使它繼續(xù)上升，之后，e變負(fù)，∑ei不斷減小，可是由于前面積累得太多，只有經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間τ后，才能使u<umax，而使系統(tǒng)回到正常的控制狀態(tài)?？梢?jiàn)，由于積分項(xiàng)的存在，引起了pid運(yùn)算的“飽和”，一般稱(chēng)為“積分飽和”現(xiàn)象，如圖5.12所示，其中曲線(xiàn)a是執(zhí)行機(jī)構(gòu)不存在極限時(shí)的輸出響應(yīng)y（t）和控制作用u(t)；曲線(xiàn)b是存在umax時(shí)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線(xiàn)，u(t)的虛線(xiàn)部分是u的計(jì)算值。
為了克服積分飽和作用，目前已提出了許多有效的修正算法，這里簡(jiǎn)要介紹常用的一種——積分分離法。
減小積分飽和的關(guān)鍵在于不能使積分項(xiàng)累積過(guò)大。因此當(dāng)偏差大于某個(gè)規(guī)定的門(mén)限值時(shí)，刪除積分作用，pid控制器相當(dāng)于一個(gè)pd調(diào)節(jié)器，既可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)又可以消除積分飽和現(xiàn)象，不致使系統(tǒng)產(chǎn)生過(guò)大的超調(diào)和振蕩。只有當(dāng)誤差e在門(mén)限 之內(nèi)時(shí)，加入積分控制，相當(dāng)于pid控制器，則可消除靜差，提高控制精度。
積分分離的控制規(guī)律為
?。?.36）
其中為設(shè)置的門(mén)限。
該算法不增加運(yùn)算量，程序僅進(jìn)行簡(jiǎn)單的邏輯判斷，計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方便。門(mén)限可以根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定或通過(guò)試驗(yàn)調(diào)整確定。
積分分離pid控制算法程序設(shè)計(jì)：根據(jù)式(5.36)所描述的控制算法進(jìn)行編程，程序框圖如圖5.13所示。
圖5.13 積分分離法的pid位置算法
(2) pid增量算法的飽和作用及其抑制
在pid增量算法中，由于執(zhí)行元件本身是機(jī)械或物理的積分儲(chǔ)存單元，在算法中不出現(xiàn)累加和式，所以不會(huì)發(fā)生位置算法那樣的累積效應(yīng)，這樣就直接避免了導(dǎo)致大幅度超調(diào)的積分飽和效應(yīng)。這是增量算法相對(duì)于位置算法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。但是，在增量算法中，卻有可能出現(xiàn)比例及微分飽和現(xiàn)象。下面簡(jiǎn)要介紹這類(lèi)飽和對(duì)控制的影響以及相應(yīng)的改進(jìn)辦法。
當(dāng)給定值發(fā)生很大躍變時(shí)，在pid增量控制算法中的比例部分和微分部分計(jì)算出的控制增量可能比較大(由于積分項(xiàng)的系數(shù)一般小得多，所以積分部分的增量相對(duì)比較小)。如果該計(jì)算值超過(guò)了執(zhí)行元件所允許的最大限度，那么，控制作用必然不如應(yīng)有的計(jì)算值理想，其中計(jì)算值的多余信息沒(méi)有執(zhí)行就遺失了，從而影響控制效果。圖5.14給出了這種情況下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性曲線(xiàn)，其中(a)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)輸出限制的控制結(jié)果；(b)和(c)為控制量及其變化受限制的比例和微分飽和結(jié)果；顯然，比例和微分飽和對(duì)系統(tǒng)影響的表現(xiàn)形式與積分飽和是不同的，從控制結(jié)果上看不是引起超調(diào)，而是減慢動(dòng)態(tài)過(guò)程。
圖5.14 pid增量算法的比例與微分飽和現(xiàn)象
抑制比例和微分飽和的辦法之一是用“積分補(bǔ)償法”。其中心思想是將那些因飽和而未能執(zhí)行的增量信息積累起來(lái)，一旦有可能再補(bǔ)充執(zhí)行。這樣，動(dòng)態(tài)過(guò)程也得到了加速。即，一旦△u超限，則多余的未執(zhí)行的控制增量將存儲(chǔ)在累加器中；當(dāng)控制量脫離了飽和區(qū)，則累加器中的量將全部或部分地加到計(jì)算出的控制增量上，以補(bǔ)充由于限制而未能執(zhí)行的控制。
值得一提的是，使用積累補(bǔ)償法雖然可以抑制比例和微分飽和，但由于引入了累加器具有積分作用，使得增量算法中也可能出現(xiàn)積分飽和現(xiàn)象。為了抑制這種可能，在每次計(jì)算積分時(shí)，應(yīng)判斷其符號(hào)是否繼續(xù)增大累加器的積累。如果增大，則將積分項(xiàng)略去，即使累加器數(shù)值積累不致過(guò)大，從而避免積分飽和現(xiàn)象。
(3) 干擾的抑制
pid控制算法的輸入量是誤差e。在進(jìn)入正常調(diào)節(jié)后，由于輸出y已接近輸入r，e的值不會(huì)太大。所以相對(duì)而言，干擾值的引入將對(duì)調(diào)節(jié)有較大的影響。對(duì)于干擾，除了采用抗干擾措施，進(jìn)行硬件和軟件濾波之外，還可以通過(guò)對(duì)pid控制算法進(jìn)行改進(jìn)，以進(jìn)一步克服干擾的影響。
數(shù)字pid算法是對(duì)模擬pid控制的近似，其中用和式代替了積分項(xiàng)，用差分代替了微分項(xiàng)。在各項(xiàng)中，差分(特別是二階差分)項(xiàng)對(duì)數(shù)據(jù)誤差和干擾特別敏感，即一旦出現(xiàn)干擾，有差分項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果有可能出現(xiàn)不期望的大的控制量變化。因此在數(shù)字pid控制中，干擾主要是通過(guò)微分項(xiàng)引起。但微分成分在pid算法中很重要 ，因此不能簡(jiǎn)單地將微分項(xiàng)部分去掉。通常是用四點(diǎn)中心差分法，對(duì)微分項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，降低其對(duì)干擾的敏感程度。
在四點(diǎn)中心差分法中，一方面將td/t取得略小于理想情況；另一方面，在組成差分時(shí)，不是直接引用現(xiàn)時(shí)偏差ei，而是用過(guò)去四個(gè)時(shí)刻的偏差平均值作基準(zhǔn)，即：
(5.37)
通過(guò)加權(quán)平均近似微分項(xiàng)
(5.38)
整理后，得
(5.39)
上式代入式(5.20)中的微分項(xiàng)，就得到修正后的pid位置算式：
(5.40)
同理，可得修正后的pid增量算式，即
(5.41)
(4) pid算式中微分項(xiàng)的改進(jìn)
微分作用有助于控制系統(tǒng)減小超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，同時(shí)加快系統(tǒng)動(dòng)作速度，減小調(diào)整時(shí)間，有助于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字pid，其微分作用與連續(xù)pid存在不同之處，具體分析如下：
由式(5.20)所示的標(biāo)準(zhǔn)pid位置算式得出微分部分的輸出與偏差的關(guān)系：
對(duì)應(yīng)z變換為
當(dāng)e(t)為單位階躍輸入時(shí)，，此時(shí)微分項(xiàng)輸出為
上式表明微分控制作用只體現(xiàn)在誤差信號(hào)發(fā)生瞬變的第一個(gè)采樣周期內(nèi)，從第二個(gè)采樣周期開(kāi)始，微分部分輸出變?yōu)榱恪６谶B續(xù)控制系統(tǒng)中，pid控制器的微分部分能在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)起作用，如圖5.15所示。為此改進(jìn)的pid應(yīng)使微分控制作用延續(xù)幾個(gè)采樣周期，加強(qiáng)微分對(duì)全過(guò)程的控制。工程上一般采用加入慣性環(huán)節(jié)的不完全微分?jǐn)?shù)字控制器，它不僅可以平滑微分產(chǎn)生的瞬時(shí)脈動(dòng)，而且能加強(qiáng)微分對(duì)全過(guò)程的影響。下面介紹不完全微分?jǐn)?shù)字控制器的推倒過(guò)程和控制算式。
一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為
?。?.42）
標(biāo)準(zhǔn)pid控制器的傳遞函數(shù)為
（5.43）
由式(5.42)和式(5.43)得到不完全微分的pid調(diào)節(jié)規(guī)律
(5.44)
設(shè)：
整理式(5.44)得到不完全微分的pid算式：
(5.45)
式中為微分增益。根據(jù)式(5.45)，不完全微分控制器可以看成由幾個(gè)環(huán)節(jié)組成，如圖5.16所示。下面分別分析每個(gè)環(huán)節(jié)的算法。
1．?dāng)?shù)字pid 2. 連續(xù)pid
圖5.15 兩種pid控制器微分作用效果比較 圖5.16 不完全微分控制器
① 微分部分
微分部分的傳遞函數(shù)為對(duì)于比較小的采樣周期，采用后向差分等效離散化方法可得上式的差分方程
(5.46)
② 積分部分
積分部分的輸入為微分部分的輸出m(s)，積分部分的輸出為v(s)，則該部分對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為
化成微分方程并用后向差分法離散化，得到差分方程
(5.47)
③ 比例部分
比例部分的表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，即為微分部分的輸出乘以k1。由式(5.46)得到比例部分的輸出為
④ 不完全微分?jǐn)?shù)字控制器的輸出由式(5.46)和式(5.47)有
(5.48)
圖5.17給出了完全微分型pid和不完全微分型pid算式的控制作用比較。在誤差e(t)發(fā)生階躍變化時(shí)，完全微分作用只在擾動(dòng)發(fā)生的一個(gè)周期起作用，而不完全微分作用按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零，可以延續(xù)幾個(gè)時(shí)鐘周期。從圖5.17可以看出，在改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能方面，不完全微分的pid算式效果較好。因此在控制質(zhì)量要求較高的場(chǎng)合，常采用不完全微分的pid算法。
圖5.17 兩種微分作用的比較