平穩(wěn)隨機過程的是一種特殊而又廣泛應(yīng)用的隨機過程。
一、平穩(wěn)隨機過程定義
1.狹義平穩(wěn)
定義
隨機過程的維分布函數(shù)或維概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任何和，隨機過程的維概率密度函數(shù)滿足
則稱是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程。簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。
平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的一維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)，即
而二維概率密度函數(shù)僅依賴于時間間隔 有關(guān)，即
2.廣義平穩(wěn)
定義：
若隨機過程的數(shù)學期望及方差與時間無關(guān)，而自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，即
則稱為廣義平穩(wěn)隨機過程或?qū)捚椒€(wěn)隨機過程。
通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲大多數(shù)可視為廣義平穩(wěn)隨機過程。以后討論平穩(wěn)隨機過程除特殊說明外均指廣義平穩(wěn)隨機過程。
二、各態(tài)歷經(jīng)性
各態(tài)歷經(jīng)性是平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下的一個非常重要的特性。
設(shè)是平穩(wěn)隨機過程中任取的一個樣本函數(shù)，若的數(shù)字特征（統(tǒng)計平均）可由的時間平均值替代，即
則稱隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。
“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：從隨機過程中得到的任何一個樣本函數(shù)，都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，可用一個樣本函數(shù)得統(tǒng)計特性來了解整個過程的統(tǒng)計特性，從而使“統(tǒng)計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。
注意：只有平穩(wěn)隨機過程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性，但在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件。
三、平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度
1.平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)
平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的定義式
性質(zhì)：
（1）（的平均功率）
（2）（是偶函數(shù)）
（3）（時有最大值，為上界值）
（4）（的直流功率）
（5）（方差，為的交流功率）
由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)可表述的幾乎所有的數(shù)字特征，因而具有實用意義。
例3.3.1 設(shè)隨機過程，其中是在內(nèi)均勻分布的隨機變量。試證明：（1） 是廣義平穩(wěn)的；（2）試說明它的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。
證明：(1)按題意，隨機相位的概率密度函數(shù)為
則的數(shù)學期望為
的自相關(guān)函數(shù)為
令，得?？梢姷臄?shù)學期望為常數(shù)（等于0）而自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，所以為廣義平穩(wěn)隨機過程。
(2) 畫出它的自相關(guān)函數(shù)的曲線圖3.3.1。
由圖可見，為的偶函數(shù)；，其直流功率經(jīng)計算得，說明無直流功率，這時交流功率就是。
圖3.3.1 隨機相位余弦波的自相關(guān)函數(shù)
2. 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度
對于任意的確定功率信號，它的功率譜密度可以表示成
式中是的截短函數(shù)的頻譜函數(shù)。
平穩(wěn)隨機過程的每個實現(xiàn)（樣本函數(shù)）是一個時間信號，且為功率信號，因而每個實現(xiàn)的功率譜密度可由上式表示。但是隨機過程的每一個實現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能當作平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度，而必須進行統(tǒng)計平均。
與確定功率信號相似，令是隨機過程的某一實現(xiàn)的截短函數(shù)，且其傅里葉變換存在，即有?？梢缘玫狡椒€(wěn)隨機過程的功率譜密度為
而的平均功率為
隨機過程功率譜密度的性質(zhì)：
（1）非負性
（2）實偶性
3.功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系
維納-辛欽關(guān)系
簡記為
的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換。
在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到如下結(jié)論：
(1)對功率譜密度進行積分，可以得到平穩(wěn)隨機過程的總功率。
這正是維納-辛欽關(guān)系的意義所在，它不僅指出了用自相關(guān)函數(shù)來表示功率譜密度，同時還從頻域的角度給出了隨機過程平均功率的計算方法，而式是時域的計算方法。
例3.3.2 求隨機相位余弦波的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。
解：在例3.3.1中，我們已經(jīng)得出是廣義平穩(wěn)的隨機過程，并且求出其自相關(guān)函數(shù)為
根據(jù)維納-辛欽關(guān)系，即，由于
所以，功率譜密度為
而平均功率為