什么是笛卡爾坐標(biāo)系？
為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。 過定點(diǎn)o，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以o為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)o叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣就構(gòu)成了一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)。
笛卡爾坐標(biāo)，它表示了點(diǎn)在空間中的位置，但卻和直角坐標(biāo)有區(qū)別，兩種坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)換。舉個(gè)例子：某個(gè)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)是493 ,454, 967，那它的x軸坐標(biāo)就是4+9+3=16，y軸坐標(biāo)是4+5+4=13，z軸坐標(biāo)是9+6+7=22，因此這個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(16, 13, 22)，坐標(biāo)值不可能為負(fù)數(shù)（因?yàn)槿齻€(gè)自然數(shù)相加無法成為負(fù)數(shù)）。
那笛卡爾坐標(biāo)系是怎么產(chǎn)生呢？
據(jù)說有一天，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會(huì)功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有順序的三個(gè)數(shù)。反過來，任意給一組三個(gè)有順序的數(shù)也可以在空間中找出一點(diǎn)p與之對(duì)應(yīng)，同樣道理，用一組數(shù)（x、y）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以有用一組兩個(gè)有順序的數(shù)來表示，這就是坐標(biāo)系的雛形。
直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念用數(shù)來表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來表示。由此笛卡爾在創(chuàng)立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了用代數(shù)的方法來研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支解析幾何， 他大膽設(shè)想：如果把幾何圖形看成是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特征的點(diǎn)組成的。舉一個(gè)例子來說，我們可以把圓看作是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，如果我們?cè)侔腰c(diǎn)看作是組成幾何圖形的基本元素，把數(shù)看作是組成方程的解，于是代數(shù)和幾何就這樣合為一家人了。