在磁場(chǎng)穩(wěn)恒中，磁感應(yīng)強(qiáng)度 沿任意閉合路徑的線積分一般不等于零。例如，一載流無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感應(yīng)線是以導(dǎo)線為圓心的同心圓，取任一磁感應(yīng)線為積分路徑， 則
由于 沿積分路徑的切線，有所以
那么， 的環(huán)路積分值與哪些因素有關(guān)呢？
一、定理的表述
磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合環(huán)路的線積分等于穿過(guò)這個(gè)環(huán)路所有電流強(qiáng)度的代數(shù)和的 倍，與閉合環(huán)路外的電流無(wú)關(guān)。 即
其中，電流的正負(fù)由閉合環(huán)路所選取的繞行方向決定。規(guī)定：當(dāng)穿過(guò)環(huán)路的電流方向與環(huán)路的繞行方向符合右手螺旋關(guān)系時(shí)，電流取正值；反之為負(fù)。如果電流不穿過(guò)環(huán)路，則它不包括在上式右端的求和中。
二、定理的證明
1、閉合環(huán)路l包圍電流
在閉合環(huán)路上取一線元 ， 點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為
而線元大小 故
如果電流i 反向，則 的方向相反，那么
2、閉合環(huán)路l不圍繞電流
若閉合環(huán)路不圍繞電流i，對(duì)應(yīng)于每個(gè)線元有另一個(gè)線元 ，二者在點(diǎn)張有相同的圓心角 ，但如果與 成銳角，則與必成鈍角。于是
而
那么
整個(gè)環(huán)路可以分割成許多象 和 這樣的線元對(duì)。因而對(duì)整個(gè)環(huán)路的線積分為零， 即
3、多根載流導(dǎo)線穿過(guò)閉合環(huán)路
設(shè)有根載流導(dǎo)線，電流分別為其中
穿過(guò)環(huán)路l,不穿過(guò)環(huán)路。各電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為 總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 。由磁場(chǎng)疊加原理，有
因而,由前面討論的兩種情況可知
或
安培環(huán)路定理得以證明。上式求和是代數(shù)和，注意根據(jù)符號(hào)規(guī)則確定電流的正、負(fù)號(hào)。