下面討論當(dāng)系統(tǒng)所有狀態(tài)不能完全直接觀(guān)測(cè)時(shí)用全維觀(guān)測(cè)器觀(guān)測(cè)出的狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)問(wèn)題。
以單輸入單輸出系統(tǒng)為例
(1)
該系統(tǒng)完全能控完全能觀(guān)測(cè)。設(shè)計(jì)的問(wèn)題是：
1、用狀態(tài)估計(jì)值反饋與用真實(shí)狀態(tài)反饋系統(tǒng)性能是否一致?
2、狀態(tài)反饋增益矩陣k和觀(guān)測(cè)器輸出誤差反饋矩陣h如何設(shè)計(jì)?
先來(lái)討論問(wèn)題1。
用x(k)反饋時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為
(2)
其中，v(k)為參考輸入
用反饋時(shí)，狀態(tài)觀(guān)測(cè)器為
(3)
閉環(huán)系統(tǒng)為
(4)
若，比較式(2)和(4)可以看出閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣未變，均為a-bk，這種情況下，反饋系統(tǒng)與x(k)反饋系統(tǒng)完全相同。
若，反饋系統(tǒng)比 反饋系統(tǒng)多了一個(gè)輸入量，觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)h的選擇保證了對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)相當(dāng)于一個(gè)很快衰減的擾動(dòng)量，只對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生瞬態(tài)的影響。
下面討論問(wèn)題2中k、h的設(shè)計(jì)。
通過(guò)前面的對(duì)比可以定性地看出
(1) 用反饋與用x(k)反饋，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)不發(fā)生變化。如果(a，b)能控，用反饋同樣可以選擇k陣進(jìn)行極點(diǎn)的任意配置，不受h陣影響。即使用觀(guān)測(cè)器不影響狀態(tài)反饋配置好的閉環(huán)極點(diǎn)。
(2) 狀態(tài)觀(guān)測(cè)器狀態(tài)方程的形式與引入狀態(tài)反饋前一樣。因此，觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)的選擇不受狀態(tài)反饋系數(shù)陣k選擇的影響。
綜合上述兩點(diǎn)，有如下定理存在。
定理 (分離定理) 若系統(tǒng)能控又能觀(guān)，可以先通過(guò)閉環(huán)極點(diǎn)要求選擇狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣k，然后可按觀(guān)測(cè)器狀態(tài)偏差衰減速率要求獨(dú)立地選擇觀(guān)測(cè)器輸出誤差反饋系數(shù)矩陣h，而h不會(huì)影響已配置好的閉環(huán)極點(diǎn)。也就是說(shuō)，k和h可以分別獨(dú)立設(shè)計(jì)，互不影響。
當(dāng)采用降維觀(guān)測(cè)器時(shí)，上述的結(jié)論同樣適用。
〖例〗 給定二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為
其中t為采樣周期，t=0.1s。試設(shè)計(jì)帶有全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為，觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)均位于z平面的原點(diǎn)。
解 先設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣k。
令，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為
期望特征方程為
比較上兩式對(duì)應(yīng)次冪項(xiàng)系數(shù)得，于是有。
再設(shè)計(jì)輸出誤差反饋增益陣。令，計(jì)算
所以狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)特征方程為
期望狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)特征方程為 z2=0
因此有h1=2，h2=10，于是可得。