摘要 對基于時間分割法的兩種拋物線插補算法在插補精度和插補運算時間兩方面進行了比較分析，通過實驗證明了數(shù)學(xué)分析的正確性，并提出了n分步長插補算法，該算法適用于多種曲線，可以有效地提高插補精度。
關(guān)鍵詞：插補算法 時間分割法 n分步長1 引言
對于任何一個復(fù)雜的零件，其輪廓線都可以由一些簡單的幾何因素組成，如直線、圓弧、拋物線等。即使一些自由型曲線、曲面體也可以由樣條曲線進行擬合，zui終還是要用直線、圓弧或拋物線進行二次插值或逼近，實現(xiàn)其數(shù)控加工，即完成插補運算的工作。插補的算法很多，但共同特點是必須在保證加工精度要求的前提下確定zui大的插補間距，并計算出每一插補段的起止點在被加工零件輪廓線上的坐標值。時間分割法是根據(jù)系統(tǒng)設(shè)定的采樣周期及設(shè)定的運動軌跡切向速度，確定每步所走距離，再分別計算每個單元時間兩軸進給量，時間分割法廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代數(shù)控機床中級以上的cnc系統(tǒng)［1，2］。目前，基于時間分割法的直線和圓弧的插補算法已經(jīng)被廣泛研究，但是對于象拋物線一類的較復(fù)雜曲線的插補問題還少有人研究，致使缺乏有效的算法，造成編程復(fù)雜，插補精度低等問題，影響數(shù)控系統(tǒng)的實用性。32位機處理速度快，運算能力強，便于人們進一步研究復(fù)雜曲線的插補問題。
本文通過對基于時間分割法的兩種拋物線插補算法的比較分析，從插補精度及插補運算時間兩方面進一步研究了拋物線插補問題；并在此基礎(chǔ)上，提出了n分步長插補算法，該算法充分發(fā)揮32位計算機的性能，同時可以應(yīng)用于許多曲線插補，有效地提高了插補精度。
2 插補算法
下面首先給出基于時間分割法的兩種拋物線插補算法。
2.1 插補算法一
對于拋物線方程y＝－ax2＋bx，（a＞0，b＞0）。f＝ft，f為進給量，f為進給速度，t為采樣時間，a（xi，yi）為本次插補點，b（xi＋1，yi＋1）為下次插補點，δxi，δyi為x、y軸進給距離。
ki＝－2axi＋bi
xi＋1＝xi＋δxi
yi＋1＝－ax2i＋1＋bxi＋1
δyi＝y(tǒng)i＋1－yi (1)
2.2 插補算法二［1］
拋物線方程為y＝－ax2＋bx（a＞0，b＞0），a（xi－1，yi－1）、b（xi，yi）為兩已知插補點，c（xi＋1，yi＋1）為下一插補點，f為進給量，f為進給速度，t為插補時間。在拋物線頂點左側(cè)：
δyi-1＝δyi－1－2aδx2i－1
xi＋1＝xi＋δxi
yi＋1＝－ax2i＋1＋bxi＋1
δyi＝y(tǒng)i＋1－yi （2）
在拋物線頂點右側(cè)：
δyi-1＝δyi－1－2aδx2i－1
xi＋1＝xi＋δxi
yi＋1＝－ax2i＋1＋bxi＋1
δyi＝y(tǒng)i＋1－yi （3）
3 兩種插補算法比較分析
對于時間分割法插補曲線，關(guān)鍵是弦長代替弧長，而弧長應(yīng)為合成插補進給量f＝f.t。每次插補實際所走弦長與f差值越小，則相應(yīng)的插補精度就越高。對上面提出的兩種算法作如下比較。設(shè)拋物線方程為y＝－ax2＋bx（a＞0，b＞0），考慮插補點在頂點左側(cè)情況，見圖1。
圖1 兩種插補算法比較分析圖
圖中a（xi－1，yi－1）、b（xi，yi）為兩已知插補點，c為下一理想插補點，ae為過a點所作拋物線切線，其斜率k＝tgα1，α1為ae與x軸向夾角，連接ab并延長，交以b為圓心、f為半徑的圓于c1點，a、c1均為圓上的點。過c1作y軸平行線，交拋物線于c′點，延長c1c′，交過b點所作x軸平行線于d1點。c2為過b點作拋物線切線交于圓上的點，β1為bc2于x軸向夾角。延長bc′交圓于c3點，β2為bc3與x軸向夾角，過c2、c3、c分別作y軸平行線，交bd1延長線于d2、d3、d點。
可以看出c2點為*種算法的插補點，其插補量δxi＝｜bd2｜，δyi′＝｜c2d2｜，c3為第二種算法的插補點，其插補量δyi″＝｜c3d3｜，而c為理想插補點，其插補量δxi＝｜bd｜，δyi＝｜cd｜。
下面求bc2與bc3的斜率。先看a點，從假設(shè)方程及a點相對頂點位置可知ae斜率必大于ab斜率，即kae＝tgα1＞kab＝tgα2。因a、b、c1三點共線，所以bc1斜率kbc1＝tgα2，分別考慮a、b點，對a點有：y′i－1＝－2axi－1＋b；對b點有：
yi′＝－2axi＋b所以有
yi′－y′i－1＝－2a（xi－xi－1）＝－2aδx′i－1
得： yi′＝y(tǒng)′i－1－2aδx′i－1＝kab－2aδx′i－1
而對于b點，有｜c′d1｜＝y(tǒng)″i－1－2ax″i－12
對上一次插補，可以假設(shè)，δy′i－1＝δy″i－1，δx′i－1＝δx″i－1，于是有：
tgβ1＝kbc2＝kae－2aδx′i－1
tgβ2＝kbc3＝kab－2aδx′i－1
由于kae＞kab，所以kbc2＞kbc3
現(xiàn)在考慮b點局部坐標系，則有b(0，0)，圓方程為x′2＋y′2＝f2。對于過b點且斜率為k的直線交于圓的交點坐標，可求得
則有x′c2＜x′c3。而在該范圍內(nèi)k＝－2ax＋b＞0，所以y′c2＜y′c3，也就是
由上述推導(dǎo)可看出，算法二的合成插補實際進給量比算法一的更逼近于合成插補理想進給量，也就是說，算法二的插補精度理論上比算法一的插補精度高。但通過比較兩種算法基本思想，可以看出算法二比算法一復(fù)雜，即算法二實際運行應(yīng)較慢。在66mhzpc-486機型上進行實驗，兩種算法在不同的理想合成插補距離下對每次插補的實際距離作了統(tǒng)計平均。表1列出了兩種算法在不同條件下實際合成插補量統(tǒng)計平均值。
表1 兩種拋物線插補算法實際合成插補量平均值
0.02 0.04 0.06 0.08
a=0.01,b=0 0.019956 0.039669 0.059607 0.079293
0.019955 0.039665 0.059589 0.079272
a=0.1,b=0 0.019987 0.039682 0.059744 0.079345
0.019984 0.039680 0.059742 0.079339
a=1,b=0 0.019992 0.039710 0.059851 0.079452
0.019986 0.039709 0.059748 0.079447
在實驗中測出兩種算法每次插補運算時間，算法一t1＝0．000013s；算法二t2＝0．000021s。由以上實驗數(shù)據(jù)可以看出，實驗結(jié)果同理論分析一致，即算法一的運算速度比算法二的運算速度快。但算法二的勻速性及插補精度比算法一要好。 4 n分步長的改進算法
隨著32位微機的廣泛使用，提供了高速的運算能力，便得cnc插補算法可以適當增加復(fù)雜程度，而達到提高插補精度的目的。為此提出了下面的n分步長的改進算法。
以二分步長說明該算法的基本思想，以上面介紹的拋物線插補算法一為例，見圖2。
圖2 二分步長改進算法示意圖
設(shè)拋物線方程為y＝－ax2＋bx（a＞0，b＞0），a（xi，yi）為已知插補點，f為理論合成插補量，ac′為過a點的拋物線切線，a，c′，b′1三點共線，作ab′1＝f，c′，c，d′三點共線，該線平行于y軸，a、d′、d三點共線，平行于x軸。｜ac′｜＝f／2。c點為c′d′與拋物線的交點，cb″為過c點拋物線切線，b″d與拋物線交于b點，｜cb″｜＝f／2。二分步長基本思想與算法一相同，但二分步長每步算兩次，每次以f／2為理想合成插補量。兩次后算出實際插補點b。
依據(jù)前述對算法一、二的比較分析相同方法，可以得出結(jié)論，采用二分步長法比整步長法進行插補的精度要高。同樣，二分步長可推廣至三分步長、四分步長直至n分步長的n分數(shù)，相應(yīng)的插補精度都會提高。但同時也可看出，從n分步長到n+1分步長，插補時間都會增加，通過在66mhz486機型上對算法一和算法二進行n-1到n-10的n分步長算法實驗，得出以下的每步實際平均插補時間，見表2。
表2 n分步長插補時間 (ms)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
算法一 0.013 0.026 0.037 0.046 0.058 0.069 0.079 0.091 0.100 0.112
算法二 0.021 0.037 0.051 0.068 0.086 0.101 0.116 0.134 0.149 0.164
為了提高插補精度，可參考表2中的數(shù)據(jù)，根據(jù)實際需要的插補運算時間，選擇合適的n值。其中的插補算法可適用于其它曲線的時間分割法基本插補算法。圖3給出n分步長插補算法流程圖。
圖3 n分步長插補算法流程圖
——可采用直線、圓弧、拋物線插補算法公式
5 結(jié)論
通過本文對兩種拋物線插補算法的比較分析，可知算法二比算法一的插補精度要高，但算法一的運算速度較快；同時，根據(jù)對n分步長插補算法的研究，可看出通過選擇適當n，可以有效地提高插補精度。