一、引言
結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)理論大致經(jīng)歷了靜力階段、反應(yīng)譜階段、動(dòng)力分析階段以及基于性態(tài)的抗震設(shè)計(jì)理論階段四個(gè)階段。
水平靜力抗震理論起源于日本。該理論將建筑物視為一個(gè)剛體，地震作用簡(jiǎn)化為作用在剛體質(zhì)心的等效水平靜力。這個(gè)水平力的數(shù)值等于建筑物的重量乘以一個(gè)與結(jié)構(gòu)本身動(dòng)力特性無(wú)關(guān)的比例系數(shù)。1899年，大森房吉在其報(bào)告《磚柱和柱狀物翻倒調(diào)查（人造地震動(dòng)）》明確提出結(jié)構(gòu)物所受的地震力p可以寫(xiě)成以下形式：
式中，w為結(jié)構(gòu)體重量， k=αmax/g為地震系數(shù)，即結(jié)構(gòu)在破壞時(shí)所受最大加速度等于地震動(dòng)的最大加速度。
反應(yīng)譜理論始于20世紀(jì)三四十年代，是伴隨著強(qiáng)震觀(guān)測(cè)記錄的增多，以及對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)特性的研究而發(fā)展起來(lái)的。作為地震工程的核心概念，反應(yīng)譜理論考慮了結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性與地震動(dòng)激勵(lì)之間的關(guān)系，同時(shí)還保留原來(lái)的靜力理論形式，在設(shè)計(jì)中仍把地震慣性力看作靜力，配合彈性的容許應(yīng)力或極限設(shè)計(jì)方法，因而應(yīng)用便利。
目前，對(duì)于一般的中小型建筑，基于反應(yīng)譜理論的底部剪力法和振型分解反應(yīng)譜法的理論基礎(chǔ)能夠滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)分析要求。而動(dòng)力時(shí)程分析仍存在計(jì)算代價(jià)大，計(jì)算結(jié)果依賴(lài)于單元、本構(gòu)選擇等等問(wèn)題，因此反應(yīng)譜法依舊是目前結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)過(guò)程中的主流。
二、反應(yīng)譜
單個(gè)地震波的反應(yīng)譜，是指在特定的地面運(yùn)動(dòng)下，有阻尼單自由度體系（sdof）的最大反應(yīng)（通常指絕對(duì)加速度、相對(duì)速度、相對(duì)位移）與體系頻率或周期的關(guān)系曲線(xiàn)。對(duì)大量特定場(chǎng)地條件的反應(yīng)譜進(jìn)行平滑處理，就能得到設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。
反應(yīng)譜法將結(jié)構(gòu)物的地震反應(yīng)簡(jiǎn)化為若干振型反應(yīng)的疊加來(lái)近似，結(jié)構(gòu)物可以簡(jiǎn)化為多自由度體系，結(jié)構(gòu)物的地震反應(yīng)可按振型分解為多個(gè)自由度體系反應(yīng)的組合。而每個(gè)單自由度體系的反應(yīng)最大值可以由反應(yīng)譜求得。
常用的反應(yīng)譜包括位移反應(yīng)譜(sd)、偽速度反應(yīng)譜(psv)、偽加速度反應(yīng)譜(psa)。通過(guò)對(duì)基線(xiàn)修正過(guò)的地震動(dòng)記錄進(jìn)行卷積積分就能得到單個(gè)地震波的反應(yīng)譜，本公眾號(hào)2019年的文章《地震波轉(zhuǎn)反應(yīng)譜 附源碼》中詳細(xì)解釋了幾種數(shù)值積分方法，并給出了源碼。
圖1 ei centro波s00e分量記錄修正后加速度時(shí)程
及積分得到的速度位移時(shí)曲線(xiàn)[1]
圖2典型的加速度、速度和位移放大率同頻率及周期的關(guān)系
psv和psa與sd以及自振圓頻率ω之間的關(guān)系為：
將相對(duì)最大位移sd，擬速度psv，擬加速度 psa的反應(yīng)譜繪制在同一張對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，形成三聯(lián)坐標(biāo)反應(yīng)譜（d-v-a譜）。如下圖所示：
圖3 阻尼比為2%、5%、10%時(shí)
ei centro波的d-v-a三聯(lián)反應(yīng)譜
圖中縱坐標(biāo)v和橫坐標(biāo)頻率f均為對(duì)數(shù)刻度，兩個(gè)坐標(biāo)d和a分別于橫坐標(biāo)傾斜+45°和-45°。三聯(lián)反應(yīng)譜最重要的作用就是為了近似估計(jì)設(shè)計(jì)譜的形狀。
如圖3所示，當(dāng)頻率?。粗芷陂L(zhǎng)）時(shí)，最大相對(duì)位移大，而擬加速度小；當(dāng)頻率大（即周期短）時(shí)，相對(duì)位移非常小，而擬加速度相對(duì)較大；對(duì)于中等大小的頻率或周期，擬速度譜明顯高于譜線(xiàn)兩端。因此，可以將反應(yīng)譜劃分為三個(gè)區(qū)段：低頻區(qū)（即位移段）、中頻區(qū)（即速度段）、高頻區(qū)（即加速度段）。譜位移與速度、譜速度與加速度的交點(diǎn)決定了設(shè)計(jì)譜的三個(gè)放大區(qū)段。在每個(gè)區(qū)段，相應(yīng)的地面運(yùn)動(dòng)反應(yīng)的放大程度達(dá)到最大。
從上圖還可以看到，當(dāng)頻率很低（0.05 hz或更低）時(shí)，譜位移與地面峰值位移接近，說(shuō)明對(duì)于柔性特別大的體系，其最大位移反應(yīng)與地面最大位移反應(yīng)相等；當(dāng)頻率很高（25-30 hz）時(shí)，擬加速度與地面峰值加速度接近，說(shuō)明對(duì)于剛性體系，其絕對(duì)加速度與地面加速度相同。地震記錄反應(yīng)譜的外形是不規(guī)則的，可能含有多個(gè)高峰和低谷，隨著阻尼比的增加，反應(yīng)譜的形狀會(huì)變得平滑。
三、設(shè)計(jì)反應(yīng)譜
下圖是housner在1959年根據(jù)當(dāng)時(shí)的四次地震八個(gè)記錄所得平均反應(yīng)譜，這是最早的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。反應(yīng)譜歸一化到零周期加速度（地面加速度）為0.2g，對(duì)其他記錄的反應(yīng)譜則按比例調(diào)整。
圖4 pga歸一化為0.2g的設(shè)計(jì)譜(housner)[2]
圖片來(lái)源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亞勇. 抗震設(shè)計(jì)手冊(cè)[m]. 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2008.
20 世紀(jì) 60 年代末，newmark和hall提出地震設(shè)計(jì)譜的直線(xiàn)形式。他們建議，加速度、速度和位移放大率設(shè)計(jì)譜分別在低頻段、中頻段和高頻段保持常數(shù)（見(jiàn)表1），與此相應(yīng)的地面峰值加速度、速度、位移分別為1. 0g、48in/s、36in，由此來(lái)標(biāo)定設(shè)計(jì)譜。他們所建議的地面運(yùn)動(dòng)值和放大率是在若干地震記錄基礎(chǔ)上分析得出的，并未考慮場(chǎng)地條件的不同。圖5表示繪制在三對(duì)數(shù)坐標(biāo)上的設(shè)計(jì)譜，譜值是由相應(yīng)地面運(yùn)動(dòng)值乘以放大系數(shù)得到的。在頻率約為6hz處，譜加速度下降到與地面峰值加速度相當(dāng)。假定當(dāng)阻尼比為2%時(shí)，加速度譜線(xiàn)與地面峰值加速度的交叉點(diǎn)在頻率為30hz處，其他阻尼比條件下的譜加速度下降段與阻尼比為2 %的譜加速度下降段平行。根據(jù)指定的加速度對(duì)歸一化設(shè)計(jì)譜比例調(diào)整后，就可用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。
圖5 pga歸一化為1.0g 的設(shè)計(jì)譜 （newmark 和hall）
圖片來(lái)源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亞勇. 抗震設(shè)計(jì)手冊(cè)[m]. 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2008.
四、規(guī)范中的設(shè)計(jì)譜
如果設(shè)計(jì)允許結(jié)構(gòu)出現(xiàn)非彈性變形，給定延性系數(shù)就可以對(duì)彈性力進(jìn)行折減，得到非彈性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)力。riddell和 newmark提出一系列系數(shù)，作為放大率折減因子，將這些系數(shù)乘以彈性設(shè)計(jì)譜得到非彈性屈服反應(yīng)譜。
現(xiàn)行抗震規(guī)范采用地震力折減系數(shù)和位移放大系數(shù)來(lái)考慮結(jié)構(gòu)由于非彈性反應(yīng)吸收能量的能力。
我國(guó)的抗震規(guī)范有以下幾個(gè)代表性版本。
（1）1959規(guī)范(1961修編)
1959年第一個(gè)草案參考了前蘇聯(lián)1957年規(guī)范，隨后在1961年草案中做出了重大的改變，增加了我國(guó)學(xué)者的研究成果[3]。其中包括：廢除場(chǎng)地烈度的方式，采用調(diào)整反應(yīng)譜值而不調(diào)烈度來(lái)考慮場(chǎng)地條件影響的方式；將設(shè)計(jì)加速度系數(shù)分解為結(jié)構(gòu)系數(shù)c與峰位加速度系數(shù)k，即kc=c·k ，該結(jié)構(gòu)系數(shù)c在物理意義上即為地震力折減系數(shù)。
（2）78規(guī)范和89規(guī)范
78規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜僅與場(chǎng)地土條件有關(guān)，阻尼比取5%，反應(yīng)譜曲線(xiàn)長(zhǎng)周期段以規(guī)律下降。為了避免長(zhǎng)周期地震作用太小，對(duì)反應(yīng)譜設(shè)定了一個(gè)下限值為αmin=0.2αmax的水平段，如下圖所示。該水平段不符合反應(yīng)譜理論，在震害實(shí)踐中也并不存在。
89規(guī)范提供了考慮近、遠(yuǎn)震和不同場(chǎng)地條件的特征周期tg，阻尼比為5%的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，其最長(zhǎng)周期為3s。
圖6 78和89規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線(xiàn)
89規(guī)范制定時(shí)已經(jīng)有了三水準(zhǔn)兩階段的設(shè)計(jì)思想，當(dāng)時(shí)認(rèn)為小震比中震(設(shè)防地震) 低 1.55度左右，相應(yīng)的地震力降低至約1/3。而從1964年草案開(kāi)始對(duì)于一般建筑結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)系數(shù)c（地震力折減系數(shù)），規(guī)定該系數(shù)c=1/3，在89規(guī)范中取消了該系數(shù)。設(shè)計(jì)按中震烈度設(shè)防，但地震動(dòng)參數(shù)αmax 為小震水平，即中震地震動(dòng)參數(shù)乘以1/3。這樣的做法在當(dāng)時(shí)結(jié)構(gòu)類(lèi)型單一的情況下確實(shí)能夠通過(guò)小震下的彈性設(shè)計(jì)同時(shí)實(shí)現(xiàn)小震不壞和中震可修。但是取消結(jié)構(gòu)系數(shù)c忽略了不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型的延性差異帶來(lái)的地震力水平變化，使得建筑結(jié)構(gòu)的實(shí)際安全度不一致。此外，78規(guī)范和89規(guī)范都沒(méi)有提供不同阻尼比反應(yīng)譜的調(diào)整方法。
（3）2001規(guī)范
2001規(guī)范對(duì)89規(guī)范的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜做了很大改進(jìn)：為了適應(yīng)高層建筑以及大跨度空間結(jié)構(gòu)等基本周期超過(guò)3s的需要，將設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線(xiàn)的周期延長(zhǎng)到6s；為了滿(mǎn)足阻尼比小于5%的鋼結(jié)構(gòu)和組合結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)、以及阻尼比大于5%的隔震和消能減震建筑設(shè)計(jì)的需要，提供了不同阻尼比反應(yīng)譜曲線(xiàn)的調(diào)整方法；采用三個(gè)設(shè)計(jì)地震分組取代遠(yuǎn)、近震，同時(shí)考慮遠(yuǎn)、近震和震源機(jī)制的影響；
2001規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線(xiàn)分為四段：
直線(xiàn)上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。
水平段，自0.ls至特征周期，取最大值αmax。
曲線(xiàn)下降段（速度控制段），自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)γ＝0.9。
直線(xiàn)下降段（位移控制段），自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系數(shù)η1=0.02。
5. 當(dāng)阻尼比5不等于0.05時(shí)，采用最大值的阻尼調(diào)整系數(shù)η2及對(duì)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的形狀參數(shù)γ、進(jìn)行修正。后來(lái)的2010規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜保持了2001規(guī)范反應(yīng)譜的基本構(gòu)架，只對(duì)反應(yīng)譜形狀參數(shù)和調(diào)整系數(shù)做了微調(diào)。
圖7 2001規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線(xiàn)
結(jié)語(yǔ)
本文簡(jiǎn)要介紹了反應(yīng)譜理論的發(fā)展過(guò)程、規(guī)范設(shè)計(jì)譜形狀的確定，以及我國(guó)抗震規(guī)范相關(guān)內(nèi)容的沿革。關(guān)于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜仍舊有包括平臺(tái)段高度取值、下降段形狀、特征點(diǎn)標(biāo)定等等問(wèn)題有待筆者進(jìn)一步了解。
參考資料
1.farzad, n., the seismic design handbook. kluwer academic publication, 2005.
2.法扎德·奈姆, 奈姆, and 王亞勇, 抗震設(shè)計(jì)手冊(cè). 2008: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社.
3.胡聿賢, 關(guān)于我國(guó)現(xiàn)行建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范gbj 11-89的幾點(diǎn)討論. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào), 1993. 14(3): p. 2-9.
4.廖振鵬, 地震小區(qū)劃 : 理論與實(shí)踐. 1989: 地震出版社.
5.國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范管理組. 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范 (gb 50011-2010) 統(tǒng)一培訓(xùn)教材[m]. 地震出版社, 2010.