一、 測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差
隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法
在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒(méi)有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。
多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測(cè)量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。
1.數(shù)學(xué)期望
在相同條件下，用相同的儀器和方法，由同一測(cè)量者以同樣細(xì)心的程度進(jìn)行多次測(cè)量，稱為等精密度測(cè)量。
設(shè)對(duì)某一被測(cè)量x 進(jìn)行測(cè)量次數(shù)為n的等精密度測(cè)量，得到的測(cè)量值xi（i=1,2,…,n）為隨機(jī)變量。其算術(shù)平均值為(也稱為樣本平均值):
，
當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，樣本平均值 的極限稱為測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望：
，這里的ex也稱為總體平均值。
數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：
x為離散型隨機(jī)變量：；
x為連續(xù)型隨機(jī)變量： 。
2.算術(shù)平均值原理
（1）算術(shù)平均值的意義
當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)則近似認(rèn)為，隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于0。即在僅有隨機(jī)誤差的情況下，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，測(cè)量值的平均值接近于真值。
則第i次測(cè)量得到的測(cè)得值xi與真值之間的絕對(duì)誤差就等于隨機(jī)誤差，
隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值：
在實(shí)際測(cè)量工作中，采用某些技術(shù)措施基本消除系統(tǒng)誤差的影響，并且剔除粗大誤差后，雖然有隨機(jī)誤差存在，但可以采用多次測(cè)量值的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。
（2）剩余誤差（又稱殘差）
各次測(cè)量值與其算術(shù)平均值之差，稱為剩余誤差。
對(duì)上式兩邊分別求和，有
上式表明：當(dāng)n足夠大時(shí)，殘差得代數(shù)和等于零。
3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差
方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。
隨機(jī)變量x的方差為x與其期望e（x）之差的平方的期望，記為d（x），即
例：兩批電池的測(cè)量數(shù)據(jù)
1測(cè)量數(shù)據(jù)的分布曲線
可以看到兩批電池的測(cè)量的平均數(shù)據(jù)相同，但是偏離平均值的結(jié)果是不同的，因此，只是期望不能表示出結(jié)果的差別，需要引入方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念。顯然，第一批電池的測(cè)量數(shù)據(jù)的分散程度較第二批好，即第一批較第二批方差較小。
標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：，
標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。
標(biāo)準(zhǔn)差反映了測(cè)量的精密度， 小表示精密度高，測(cè)得值集中，大表示精密度低，測(cè)得值分散。
二、貝塞爾公式及其應(yīng)用
1.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布
測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。
中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。
隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：，
測(cè)量數(shù)據(jù)x的概率密度函數(shù)為：；
隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：
同樣測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望e(x)＝，方差d(x)＝ ；
圖2 隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線
從圖2可以看到隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差。隨機(jī)誤差具有：①對(duì)稱性 ② 單峰性 ③ 有界性 ④抵償性 四個(gè)特點(diǎn)。
圖3 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差曲線
從圖3可以看到，，即標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。
2.貝塞爾（besell）公式
3．算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差
有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值；
算術(shù)平均值：；
殘差：；
實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：
算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值 ：
；
算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性 。
三、均勻分布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差
1.均勻分布的概率密度
;
2.均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差
數(shù)學(xué)期望為 ;
當(dāng) 時(shí), ；
標(biāo)準(zhǔn)差為
四、 非等精密度測(cè)量
1.權(quán)的概念
可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后報(bào)告值中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。表示這種可靠程度的量稱為“權(quán)”，記做w。
i=1,2,3,…,m
2.加權(quán)平均值
，其中，m是非等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的組數(shù)，n是等效后的次數(shù)。可以得出：