通常任何材料包括導(dǎo)線在內(nèi)，都具有一定的剛性，但由于懸掛在桿塔上的一檔導(dǎo)線相對較長，因此導(dǎo)線材料的剛性對其幾何形狀的影響很小，故在計(jì)算中假定：
（1）導(dǎo)線為理想的柔索。因此，導(dǎo)線只承受軸向張力（或拉力），任意一點(diǎn)的彎矩為零。這樣導(dǎo)線力學(xué)計(jì)算可應(yīng)用理論力學(xué)中的柔索理論進(jìn)行計(jì)算。
（2）作用在導(dǎo)線上的荷載均指同一方向，且沿導(dǎo)線均勻分布。
一、懸鏈線方程及曲線弧長
1.懸鏈線方程
為了分析方便，我們先從懸掛點(diǎn)等高，即相鄰桿塔導(dǎo)線懸掛點(diǎn)無高差的情況討論導(dǎo)線的應(yīng)力及幾何關(guān)系。實(shí)際上，導(dǎo)線懸在空中的曲線形態(tài)，從數(shù)學(xué)角度用什么方程來描述是進(jìn)行導(dǎo)線力學(xué)分析的前題。由于假定視導(dǎo)線為柔索，則可按照理論力學(xué)中的懸鏈線關(guān)系來進(jìn)行分析，即將導(dǎo)線架設(shè)在空中的幾何形態(tài)視為懸鏈形態(tài)，而由此導(dǎo)出的方程式為懸鏈線方程。
如圖1所示，給出了懸掛于a、b兩點(diǎn)間的一檔導(dǎo)線，假定為懸掛點(diǎn)等高的孤立檔，設(shè)以導(dǎo)線的最低點(diǎn)o點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。
圖1 導(dǎo)線懸鏈線及坐標(biāo)系
同時(shí)假定導(dǎo)線固定在導(dǎo)線所在的平面，可隨導(dǎo)線一起擺動，顯然這是一個(gè)平面力系。根據(jù)這個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行導(dǎo)線的受力分析，可建立導(dǎo)線的懸鏈線方程。
我們先從局部受力分析開始，再找出其一般規(guī)律。首先在導(dǎo)線上任取一點(diǎn)d（x,y），然后分析od段導(dǎo)線的受力關(guān)系，由圖1所示，此od段導(dǎo)線受三個(gè)力而保持平衡，其中d點(diǎn)承受拉力為tx=σxs，它與導(dǎo)線曲線相切，與x軸夾角為α； o點(diǎn)承受拉力為t0=σ0s，t0為導(dǎo)線o點(diǎn)的切線方向，恰與x軸平行，故又稱水平張力；此外還有od段導(dǎo)線自身的荷載為g=gslx， 其中l(wèi)x為od段導(dǎo)線的弧長。
將od段導(dǎo)線的受力關(guān)系畫為一個(gè)三角形表示，如圖2所示，
圖2 導(dǎo)線受力情況
由靜力學(xué)平衡條件可知，在平面坐標(biāo)系中，其水平分力，垂直分力的代數(shù)和分別等于零?；蜓豿軸或y軸上分力代數(shù)和分別等于零。
垂直方向分力g=txsinα=gslx;水平方向分為t0=txcosα=σ0s。其中σ0、t0為導(dǎo)線最低點(diǎn)的應(yīng)力和張力，σx、tx為導(dǎo)線任一點(diǎn)的應(yīng)力和張力，s、g為導(dǎo)線截面和比載。將上述二式相比，則可求得導(dǎo)線任意一點(diǎn)d的斜率為：
(1)
由微分學(xué)知識可知，曲線上任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率。
式（1）是懸鏈曲線的微分方程。我們要用坐標(biāo)關(guān)系表示出導(dǎo)線受力的一般規(guī)律，還需要將不定量lx消去，因此，將式對x微分得：
（微分學(xué)中弧長微分公式為ds2=(dx)2+(dy)2）將上式移項(xiàng)整理后，兩端進(jìn)行積分
這是個(gè)隱函數(shù)，因此，再進(jìn)行分離變量積分，查積分公式有：
?。?）
再進(jìn)行分離變量積分，有
于是，導(dǎo)線任一點(diǎn)d的縱坐標(biāo)為：
?。?）
式（2）是懸鏈方程的普通形式，其中c1和c2為積分常數(shù)，其值可根據(jù)取坐標(biāo)原點(diǎn)的位置及初始條件而定。如果將坐標(biāo)原點(diǎn)于導(dǎo)線最低點(diǎn)處，則有下述初始條件：
x=0, dy/dx=tgα=0
代入式（2－11）則c1＝0，將x=0,y=0,c1＝ 0 代入式（2），，如此，求得坐標(biāo)原點(diǎn)最低點(diǎn)o處的懸鏈方程為：
（4）
式中σ0—水平應(yīng)力(即導(dǎo)線最低點(diǎn)應(yīng)力)，mpa;
g—導(dǎo)線的比載，n/m.mm2。
當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在其它點(diǎn)（例如選在懸掛點(diǎn)處）時(shí)，懸鏈線方程的常數(shù)項(xiàng)將有所不同，可以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表檔距的時(shí)候，則y即為導(dǎo)線的弧垂，因此懸鏈線方程描述了導(dǎo)線弧垂與應(yīng)力、比載及檔距之間的基本關(guān)系，此式稱為精確式。
實(shí)際上導(dǎo)線的懸鏈線方程還可以從另一種方式進(jìn)行推導(dǎo),下面介紹如下：
由式,對其求導(dǎo)得：
變換為,為找原函數(shù)進(jìn)行積分,
由積分式兩邊積分，
則有：變?yōu)橹笖?shù)形式為
這是個(gè)隱函數(shù)，為解出，對應(yīng)有式：
將兩式相減則有：
因?yàn)殡p曲正弦函數(shù)為：
雙曲余弦函數(shù)為：
又因?yàn)椋?br>最后積分有：
定積分常數(shù),因在坐標(biāo)原點(diǎn)則，其結(jié)果是一樣的，即
在線路設(shè)計(jì)中，為了計(jì)算上的方便，一般不使用精確式方程，而是將其展開為泰勒級數(shù)形式。將懸鏈線方程式（2－13）展開成無窮級數(shù)（在x=0點(diǎn)），可得：
?。?）
2．曲線弧長（或弧長方程）
導(dǎo)線最低點(diǎn)o至任一點(diǎn)的曲線長度叫做弧長，用lx表示。將式（2－11）代入式（2－10）中，且積分常數(shù)c1＝0，得導(dǎo)線的弧長方程為
?。?）
根據(jù)式（2－15）可以計(jì)算一個(gè)檔距內(nèi)導(dǎo)線的曲線長度（也叫一檔線長）將弧長方程式（7）展開成無窮級數(shù)可得：
?。?）
二 、平拋物線方程
平拋物線方程是懸鏈線方程的簡化形式之一。它是假設(shè)作用在導(dǎo)線弧長上的荷載沿導(dǎo)線在x軸上的投影均勻分布而推出的，在這一假設(shè)下，圖2-6中導(dǎo)線所受垂直荷載變成
即用直線代替弧長，從而使積分簡化，由此導(dǎo)出平面拋物方程為
?。?）
相應(yīng)導(dǎo)線的弧長方程式為：
（9）
實(shí)際上式(2-17)是式(2-14)取前一項(xiàng)的結(jié)果，式(2-18)是式(2-16)取前兩項(xiàng)的結(jié)果，這恰說明它是懸鏈線方程的近似表達(dá)式。
當(dāng)懸掛點(diǎn)高差h/≤10%時(shí)，用平拋物線方程進(jìn)行導(dǎo)線力學(xué)計(jì)算，可以符合工程精度要求。
三 、懸掛點(diǎn)等高時(shí)導(dǎo)線的應(yīng)力、弧垂與
(一)導(dǎo)線的弧垂
將導(dǎo)線懸掛曲線上任意一點(diǎn)至兩懸掛點(diǎn)連線在鉛直方向上的距離稱為該點(diǎn)的弧垂。一般所說的弧垂，均指檔內(nèi)最大弧垂(除了特別說明外)
1.最大弧垂計(jì)算
如圖 2-7所示的懸點(diǎn)等高情況。將式(2-13)中的x以代入，則得最大弧垂f的精確計(jì)算公式(懸鏈線式)如下
（2－19）
式中：f—導(dǎo)線的最大弧垂，m；
σ0—水平導(dǎo)線最低點(diǎn)應(yīng)力，mpa ；
g—導(dǎo)線的比載，n/m.mm2；
—檔距，m。
同理，在實(shí)際工程中當(dāng)弧垂與檔距之比≤10%時(shí)，可將式(2-17)中的x以代入，得最大弧垂的近似計(jì)算公式(平面拋物線計(jì)算式)：
(2-20)
式(2-20)在線路設(shè)計(jì)中會經(jīng)常用到。
2.任意一點(diǎn)的弧垂計(jì)算
如圖2-7所示，
圖2-7 懸線等高時(shí)弧垂
任意一點(diǎn)的弧垂可表示為：
利用懸鏈線方程進(jìn)行計(jì)算，可將式(2-13)和式（2-19）代入上式，經(jīng)整理得：
(2-21)
式中—導(dǎo)線任一點(diǎn)d(x,y)到懸掛點(diǎn)a、b的水平距離；
若利用平拋物線方程，可將式(2-17)和式(2-20)進(jìn)行計(jì)算，得到任意一點(diǎn)弧垂的近似計(jì)算式：
(2-22)
（二）導(dǎo)線的應(yīng)力
1．導(dǎo)線的受力特點(diǎn)
由于將導(dǎo)線視為柔索，則導(dǎo)線在任一點(diǎn)僅承受切向張力。因?qū)Ь€不同點(diǎn)處由于其自身重量不同，則切向張力也是不同的，即導(dǎo)線的張力隨導(dǎo)線的長度而變化。
但在線路設(shè)計(jì)中我們主要關(guān)心兩個(gè)特殊點(diǎn)的受力情況：一是導(dǎo)線最低點(diǎn)受力；二是導(dǎo)線懸掛點(diǎn)受力。
導(dǎo)線的受力特點(diǎn)，由圖2－6的受力三角形分析，導(dǎo)線在任一點(diǎn)受到的張力大小均可以分解為垂直分量和水平分量兩個(gè)分力，其特點(diǎn)是：
①導(dǎo)線最低點(diǎn)處只承受水平張力，而垂直張力為零；
②導(dǎo)線任一點(diǎn)水平張力就等于導(dǎo)線最低點(diǎn)的張力；
③導(dǎo)線任一點(diǎn)張力的垂直分量等于該點(diǎn)到導(dǎo)線最低點(diǎn)之間導(dǎo)線上荷載（g）。
2．導(dǎo)線上任意一點(diǎn)的應(yīng)力
如圖2-6所示，導(dǎo)線懸掛點(diǎn)等高時(shí)，其導(dǎo)線的應(yīng)力計(jì)算如下。
根據(jù)前述的導(dǎo)線受力條件，導(dǎo)線在任一點(diǎn)的張力tx為：
?。?－23）
要消去不定量弧長lx，用導(dǎo)線其它已知數(shù)據(jù)表示，則由式(2-13)和式(2-15),即懸鏈線方程和弧長方程可以導(dǎo)出：
方程兩邊同乘以(gs)2得：
?。?－24）
將方程式(2-24)代入式(2-23)中，且對應(yīng)項(xiàng)相等關(guān)系，可得：
?。?－25）
則得導(dǎo)線上任意一點(diǎn)處的軸向應(yīng)力為：
(2-26)
此為導(dǎo)線應(yīng)力計(jì)算中的重要公式，它表明導(dǎo)線任一點(diǎn)的應(yīng)力等于導(dǎo)線最低點(diǎn)的應(yīng)力再加上該點(diǎn)縱坐標(biāo)與比載的乘積，且是個(gè)代數(shù)和。
根據(jù)式(2-23)還可以得到導(dǎo)線軸向應(yīng)力的另一種計(jì)算公式，即：
即由受力三角形關(guān)系除以s直接得到，它表示導(dǎo)線任一點(diǎn)應(yīng)力等于其最低點(diǎn)的應(yīng)力和此點(diǎn)到最低點(diǎn)間導(dǎo)線上單位面積荷載的矢量和。
其形式還可以表示為：
（2－27）
式中α—導(dǎo)線任一點(diǎn)切線方向與x軸的夾角。式(2-26)和式(2-27)是計(jì)算導(dǎo)線應(yīng)力的常用公式。
3.導(dǎo)線懸掛點(diǎn)的應(yīng)力
導(dǎo)線懸掛點(diǎn)的軸向應(yīng)力σa根據(jù)式(2-26)和式(2-27)可得到
或
式中符號意義同前。
4.一檔線長
在不同氣象條件下，作用在導(dǎo)線上的荷載不同，這還將引起導(dǎo)線的伸長或收縮，因此線長l也是一個(gè)變化量。盡管線路設(shè)計(jì)中很少直接用到這個(gè)量，但線路計(jì)算的諸多公式大都與它有關(guān)。
根據(jù)式(2-15)，導(dǎo)線最低點(diǎn)至任一點(diǎn)的曲線弧長為：
懸掛點(diǎn)等高時(shí)，令x=代入上式得到半檔線長，則一檔線長為：
?。?－29）
式中 l—懸點(diǎn)等高時(shí)一檔線長，m。
一檔線長展開成級數(shù)表達(dá)式
（2－30）
在檔距不太大時(shí)，可取上式中前兩項(xiàng)作為一檔線長的平拋物線近似公式
?。?－31）
又可寫成
?。?－32）