1. 離散系統(tǒng)根軌跡
考慮線性定常離散系統(tǒng)
圖1 線性定常離散系統(tǒng)
閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
(1)
該系統(tǒng)的特征方程為
(2)
離散系統(tǒng)根軌跡就是畫出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在z平面上隨參數(shù)k變化的軌跡。由于離散根軌跡與連續(xù)根軌跡在形式上相同，所以其根軌跡的畫法與連續(xù)根軌跡類似。
繪制離散系統(tǒng)根軌跡的基本原則：
(1) 根軌跡起于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)mg(z)的極點，終止于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)mg(z)的零點；
(2)實軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡；
(3) 根軌跡對稱于實軸；
(4) 漸近線的個數(shù)等于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)mg(z)的極點np與零點nz之差，且漸近線與實軸的交角和交點分別為
(3)
(4)
(5) 根軌跡的分離點由下式求解
(5)
即
(6)
〖例1〗 設，畫出其根軌跡。
解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點為z=1和z=0.368，零點為z=-0.717和z=∞。可計算分離點為z=0.65(k=0.196)和z=-2.08(k=15)（先算分離點，再通過特征方程求k）。
由以上原則，可畫出其根軌跡如下圖左圖。
圖2 根軌跡圖
在臨界點，k=2.39,此時特征方程為z2-0.488z-1=0，其根為
2. 離散系統(tǒng)頻率特性
在連續(xù)系統(tǒng)中，頻域分析法是應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。只要將傳遞函數(shù)中的s以jω置換，就可以得到相應的頻率特性。頻率特性有幅頻特性、相頻特性及幅相頻特性。
在連續(xù)系統(tǒng)中，某一個環(huán)節(jié)的頻率特性為
(1)
在離散系統(tǒng)中，某一環(huán)節(jié)的頻率特性（奈氏曲線）為
(2)
只是這里的取值有限制。由前面分析可知
(3)
〖例2〗 求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的頻率特性。
解：由于s平面的虛軸與z平面的單位圓對應，所以s平面的圍線對應z平面的單位圓。與連續(xù)系統(tǒng)相似，當在單位圓上有極點時，圍線應繞過該點，如圖3所示。
圖3 頻率特性
在該點定義
則
對應奈氏圖如圖4.15所示。其中g(shù)(-1)=-0.0381。
由于與連續(xù)系統(tǒng)形式相似，所以幅角原理和奈氏判據(jù)有相類似的結(jié)論。
奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：線性離散反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點的圈數(shù)r等于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)單位圓外的極點數(shù)p,即r=p。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)單位圓外的極點數(shù)z為z=p-r。
由此判據(jù)可知，例2閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
通過例2可以看出，由于頻率特性g(ejωt)不是ω的有理分式函數(shù)，所以不便于分析其頻率特性，這給分析和設計系統(tǒng)帶來不便。由4.1節(jié)可知，雙線性變換可以將z平面的單位圓變換為w平面的虛軸，而且由于w平面與s平面有類似的對應關(guān)系，因此可以運用與連續(xù)系統(tǒng)相同的頻域分析法來進行系統(tǒng)的分析和設計。
幅頻特性和相頻特性常采用對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。采用雙線性變換，可以將z平面變換到w平面，從而可以方便地求出對應的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。
〖例3〗 已知系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為，求其對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。
解：采用雙線性變換，得w平面的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)
對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性如圖4所示。
圖4 對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性