為了保證機(jī)電一體化系統(tǒng)具有良好的伺服特性，我們不僅要滿足系統(tǒng)的靜態(tài)特性，還必須利用自動(dòng)控制理論的方法進(jìn)行機(jī)電一體化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析與設(shè)計(jì)。動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)過程首先是針對靜態(tài)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，然后用控制理論的方法分析系統(tǒng)的頻率特性，找出并通過調(diào)節(jié)相關(guān)機(jī)械參數(shù)改變系統(tǒng)的伺服性能。
一、數(shù)學(xué)模型建立
機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立與電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立基本相似，都是通過折算的辦法將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)裝置轉(zhuǎn)換成等效的簡單函授關(guān)系，數(shù)學(xué)表達(dá)式一般是線性微分方程（通常簡化成二階微分方程）。機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析的是輸入（如電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)）和輸出（如工作臺運(yùn)動(dòng)）之間的相對關(guān)系。等效折算過程是將復(fù)雜結(jié)構(gòu)關(guān)系的機(jī)械系統(tǒng)的慣量、彈性模量和阻尼（或阻尼比）等機(jī)械性能參數(shù)歸一處理，從而通過數(shù)學(xué)模型來反映各環(huán)節(jié)的機(jī)械參數(shù)對系統(tǒng)整體的影響。
下面以數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)為例，來介紹建立數(shù)學(xué)模型的方法。在圖1所示的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)中，電動(dòng)機(jī)通過兩級減速齒輪、、、及絲杠螺母副驅(qū)動(dòng)工作臺作直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)為軸i部件和電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；、為軸ⅱ、ⅲ部件構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；、、分別為軸i、ⅱ、ⅲ的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；k為絲杠螺母副及螺母底座部分的軸向剛度系數(shù)；m為工作臺質(zhì)量；c為工作臺導(dǎo)軌粘性阻尼系數(shù)：、、分別為軸i、ⅱ、ⅲ的輸入轉(zhuǎn)矩。
圖1 數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)
建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先是把機(jī)械系統(tǒng)中各基本物理量折算到傳動(dòng)鏈中的某個(gè)元件上（本例折算到軸i上），使復(fù)雜的多軸傳動(dòng)關(guān)系轉(zhuǎn)化成單一軸運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化前后的系統(tǒng)總機(jī)械性能等效；然后，在單一軸基礎(chǔ)上根據(jù)輸入量和輸出量的關(guān)系建立它的輸入/輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式（即數(shù)學(xué)模型）。根據(jù)該表達(dá)式進(jìn)行的相關(guān)機(jī)械特性分析就反映了原系統(tǒng)的性能。在該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立過程中，我們分別針對不同的物理量（如j、k、ω）求出相應(yīng)的折算等效值。
機(jī)械裝置的質(zhì)量（慣量）、彈性模量和阻尼等機(jī)械特性參數(shù)對系統(tǒng)的影響是線性疊加關(guān)系，因此在研究各參數(shù)對系統(tǒng)影響時(shí)，可以假設(shè)其它參數(shù)為理想狀態(tài)，單獨(dú)考慮特性關(guān)系。下面就基本機(jī)械性能參數(shù)，分別討論轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、彈性模量和阻尼的折算過程。
1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的折算
把軸i、ⅱ、ⅲ上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和工作臺的質(zhì)量都折算到軸i上，作為系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)、、分別為軸i、ⅱ、ⅲ的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，ω1、ω2、ω3分別為軸i、ⅱ、ⅲ的角速度；υ為工作臺位移時(shí)的線速度。
（1）i、ⅱ、ⅲ軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的折算 根據(jù)動(dòng)力平衡原理，i、ⅱ、ⅲ軸的力平衡方程分別是：
（1）
（2）
（3）
因?yàn)檩Sⅱ的輸入轉(zhuǎn)矩是由軸i上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩獲得，且與它們的轉(zhuǎn)速成反比，所以
又根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系有
把t2和ω2值代入式3，并將式2中的t1也帶入，整理得
（2）工作臺質(zhì)量折算到i軸 在工作臺與絲杠間，驅(qū)動(dòng)絲杠使工作臺運(yùn)動(dòng)。
根據(jù)動(dòng)力平衡關(guān)系有
式中υ——工作臺線速度；
l——絲杠導(dǎo)程。
即絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功等于工作臺前進(jìn)一個(gè)導(dǎo)程時(shí)其慣性力所做的功。
又根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系有
把v值代入上式整理后得
?。?）
（3）折算到軸ⅰ上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 把式（2）、（3）、（4）代入式（1）（2）（3），消去中間變量并整理后求出電機(jī)輸出的總轉(zhuǎn)矩為
?。?）
式中＝ （6）
為系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（或質(zhì)量）折算到軸i上的總等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中、、分別為ⅱ、ⅲ軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和工作臺質(zhì)量折算到i軸上的折算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
2、粘性阻尼系數(shù)的折算
機(jī)械系統(tǒng)工作過程中，相互運(yùn)動(dòng)的元件間存在著阻力，并以不同的形式表現(xiàn)出來，如摩擦阻力、流體阻力以及負(fù)載阻力等，這些阻力在建模時(shí)需要折算成與速度有關(guān)的粘滯阻尼力。
當(dāng)工作臺均速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸ⅲ的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩t3完全用來克服粘滯阻尼力的消耗。考慮到其它各環(huán)節(jié)的摩擦損失比工作臺導(dǎo)軌的摩擦損失小得多，故只計(jì)工作臺導(dǎo)軌的粘性阻尼系數(shù)c。根據(jù)工作臺與絲杠之間的動(dòng)力平衡關(guān)系有：
即絲杠轉(zhuǎn)一周所作的功，等于工作臺前進(jìn)一個(gè)導(dǎo)程時(shí)其阻尼力所作的功。
根據(jù)力學(xué)原理和傳動(dòng)關(guān)系有：
（7）
式中ｃ′——工作臺導(dǎo)軌折算到軸i上的粘性阻力系數(shù)
（8）