數(shù)字控制器的間接設(shè)計(jì)法是先根據(jù)給定的性能指標(biāo)及各項(xiàng)參數(shù)，應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)理論和設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)模擬控制器gc(s)，形成如圖1所示的模擬閉環(huán)系統(tǒng)，再按照本節(jié)介紹的離散化方法將模擬控制器離散化為數(shù)字控制器d(z)，形成如圖2所示的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。
圖1 模擬閉環(huán)控制系統(tǒng)
圖2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的簡化結(jié)構(gòu)
這種設(shè)計(jì)方法對采樣周期的選擇有比較嚴(yán)格的限制。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)及a/d和d/a轉(zhuǎn)換器的迅速發(fā)展，實(shí)現(xiàn)一個(gè)給定模擬控制器的等效數(shù)字控制器并不難。圖3(a)是模擬控制器，圖3(b)是其等效的數(shù)字控制器。在等效數(shù)字控制器中，連續(xù)時(shí)間輸入信號被變換成數(shù)字信號，經(jīng)數(shù)字控制器處理后再變成連續(xù)信號?？梢娺@種等效并不是將模擬控制器gc(s)簡單進(jìn)行z變換來得到數(shù)字控制器d(z)的，而應(yīng)通過一定離散化方法使二者有近似相同動(dòng)態(tài)特性和頻率響應(yīng)特性。
圖3 模擬化設(shè)計(jì)原理
1. 差分法
在線性定常連續(xù)系統(tǒng)中，模擬控制器通常用傳遞函數(shù)或微分方程描述。設(shè)有一模擬控制器為
其對應(yīng)的微分方程為
(1)
將上式兩邊從0到t進(jìn)行積分，得
(2)
若求解每個(gè)采樣周期t時(shí)u(t)的值,將kt代入上式中的t,得
即
(3)
將式(3)中的kt換成(k-1)t,有
(4)
式(3)與式(4)相減,得
(5)
上式右側(cè)兩項(xiàng)在數(shù)值上可用各種方法積分.
(1) 前向差分法
前向差分法是一種數(shù)值積分，即用(k-1)t時(shí)刻的值所形成的矩形面積近似項(xiàng)積分，如圖4所示。
則式(5)可寫為
上式的z變換為
則離散化后的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為
6)
若令
(7)
則gc(s)與d(z)完全相同。即當(dāng)采用前向差分法時(shí)，可認(rèn)為式(7)是從s平面到z平面的映射函數(shù)。
眾所周知,s平面的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閟平面的左半平面，如圖5所示，即
因?yàn)閠>0，故有,如圖5所示。由此可見，前向差分法有可能將s左半平面的穩(wěn)定極點(diǎn)映射到z平面單位圓外成為不穩(wěn)定極點(diǎn)，即將穩(wěn)定的模擬控制器離散化為不穩(wěn)定的數(shù)字控制器。因此，實(shí)際應(yīng)用中不能采用前向差分法作為離散化方法。
圖4 前向差分法的幾何意義
圖5前向差分法的映射關(guān)系
(2) 后向差分法
后向差分法也是一種數(shù)值積分，即用kt時(shí)刻的值所形成的矩形面積近似積分項(xiàng)，如圖6所示。則式(5)可寫為
（8）
上式的z變換為
則離散化后的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為
(9)
若令
(10)
則gc(s)與d(z)完全相同。即采用后向差分法時(shí)，可認(rèn)為式(5.10)是從s平面到z平面的映射函數(shù)。此時(shí)數(shù)字控制器d(z)為
(11)
后向差分法將s平面的穩(wěn)定區(qū)域映射為z平面的一個(gè)以σ=1/2，ω=0為圓心，1/2為半徑的圓，如圖7所示。可見，后向差分法的映射為穩(wěn)定映射。
后向差分法簡單，并能由穩(wěn)定的模擬控制器得到穩(wěn)定的數(shù)字控制器(注意，一些不穩(wěn)定的模擬控制器也可能轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的數(shù)字控制器)。然而，因?yàn)閟平面的穩(wěn)定區(qū)被映射到z平面單位圓內(nèi)的一個(gè)圓內(nèi)，故用這個(gè)方法獲得的數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和頻率響應(yīng)特性與原模擬控制器的特性相比有相當(dāng)大的畸變。為減小畸變，需用較高的采樣頻率，即較小的采樣周期t。
圖6 后項(xiàng)差分法的幾何意義
圖7 后項(xiàng)差分法的映射關(guān)系
(3) 雙線性變換法
雙線性變換法也稱梯形法或tustin法，其是基于梯形面積近似積分的方法。根據(jù)這個(gè)方法有
如圖8所示。
若令
(14)
則gc(s)與d(z)完全相同。
式(14)即是雙線性變換法從s平面到z平面的映射函數(shù)，即數(shù)字控制器可以由下式獲得：
(15）
根據(jù)式(14)，s平面的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?br>令，則上式可化為
上式等價(jià)于
即
上述不等式與z平面中單位圓的內(nèi)部相對應(yīng)。因此，對于穩(wěn)定的模擬控制器，雙線性變換法可以產(chǎn)生穩(wěn)定的數(shù)字控制器。雙線性變換的映射結(jié)果與z=ets的映射結(jié)果一致。根據(jù)z=ets的對應(yīng)關(guān)系，可把s平面整個(gè)jω軸映射為z平面中心單位圓的無限多個(gè)循環(huán)。雖然看起來雙線性變換與z變換法在映射左半s平面為z平面的單位圓方面是相同的，然而在對離散控制器的暫態(tài)響應(yīng)和頻率響應(yīng)特性的影響方面，二者卻有很大的差異。
2. z變換設(shè)計(jì)法
(1) 脈沖響應(yīng)不變法
① 設(shè)計(jì)原理
脈沖響應(yīng)不變法的基本思想是：離散近似后的數(shù)字控制器的脈沖響應(yīng)gd(kt)是模擬控制器的脈沖響應(yīng)采樣值g(kt)的t倍。
設(shè)模擬控制器為gc(s)，其單位脈沖響應(yīng)的采樣值為
待求的數(shù)字控制器d(z),其單位脈沖響應(yīng)為gd(kt)。
設(shè)計(jì)原則是使gd(kt)=tg(kt)，則有
(16)
可見脈沖響應(yīng)不變法保存了脈沖響應(yīng)的相位。由于等效離散控制器d(z)與連續(xù)控制器gc(s)的z變換成比例，故脈沖響應(yīng)不變法也叫做直接z變換法。
② 特點(diǎn)及應(yīng)用范圍
由于脈沖響應(yīng)不變法是z變換法，故gc(s)穩(wěn)定，則d(z)也可保證穩(wěn)定。d(z)的頻率響應(yīng)是gc(s)的頻率響應(yīng)加上無限多個(gè)附加的頻率響應(yīng)分量，它們的中心頻率是采樣頻率的整數(shù)倍，不會(huì)產(chǎn)生頻率畸變。由于z變換的多值映射特性，容易出現(xiàn)頻率“混疊”現(xiàn)象。
其應(yīng)用范圍是：連續(xù)控制器gc(s)應(yīng)具有部分分式結(jié)構(gòu)或能較容易地分解為并聯(lián)結(jié)構(gòu)。且gc(s)應(yīng)具有陡衰減的頻率特性，此種方法較適合用于有限帶寬信號的場合。這時(shí)采樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證d(z)的頻率特性接近原連續(xù)控制器gc(s)。
(2) 階躍響應(yīng)不變法
① 設(shè)計(jì)原理
階躍響應(yīng)不變法的基本思想是：離散近似后的數(shù)字控制器的階躍響應(yīng)序列與模擬控制器的階躍響應(yīng)的采樣值一致。
設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的控制器為gc(s)，輸入信號為單位階躍函數(shù)e(s)=1/s,輸出為u(s)，則連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)
構(gòu)造如下新的控制器(在gc(s)前增加一個(gè)零階保持器)
取z變換，得相應(yīng)的數(shù)字控制器
(17)
則對于單位階躍輸入，其響應(yīng)序列為
此式表明，數(shù)字控制器d(z)的階躍響應(yīng)與模擬控制器階躍響應(yīng)的采樣值相同。式(5.17)即為數(shù)字控制器與模擬控制器的等效關(guān)系。這里的零階保持器為構(gòu)造d(z)而加在gc(s)上的虛擬環(huán)節(jié)，并不是系統(tǒng)中的硬件環(huán)節(jié)。
② 特點(diǎn)及應(yīng)用范圍
階躍響應(yīng)不變法的主要特點(diǎn)是：gc(s)穩(wěn)定，d(z)亦穩(wěn)定。由于零階保持器的低通濾波特性，可減少“混疊”現(xiàn)象，可保持穩(wěn)態(tài)增益不變。
應(yīng)用場合是：gc(s)應(yīng)具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式或容易分解成部分分式形式。由于d(z)內(nèi)含有零階保持器，該方法只能用于低通網(wǎng)絡(luò)，且要求保持階躍響應(yīng)不變的系統(tǒng)。在某些認(rèn)為階躍輸入時(shí)的暫態(tài)響應(yīng)特性最重要的特定場合，可以用這個(gè)方法令等效離散控制器的階躍響應(yīng)等于連續(xù)控制器的階躍響應(yīng)。然而，值得注意的是，在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用情況中，階躍輸出響應(yīng)特性雖然是重要的，但卻不應(yīng)是唯一的?？赡苡衅渌愋偷妮敵鲆彩侵匾?，因而，還必須考慮對那些輸入的響應(yīng)特性。另外，當(dāng)采樣頻率較低時(shí)，還需要補(bǔ)償零階保持器的相位滯后。
(3) 零極點(diǎn)匹配映射法
s域中零極點(diǎn)的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，z域中亦然。因此，當(dāng)s域轉(zhuǎn)換到z域時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證零極點(diǎn)具有一一對應(yīng)的映射關(guān)系，根據(jù)s域與z域的轉(zhuǎn)換關(guān)系z=ets，可將s平面的零極點(diǎn)直接一一對應(yīng)地映射到z平面上，使d(z)的零極點(diǎn)與連續(xù)系統(tǒng)gc(s)的零極點(diǎn)完全相匹配，這一等效離散化方法稱為“零極點(diǎn)匹配法”或“根匹配法”。
由于連續(xù)系統(tǒng)gc(s)中的零點(diǎn)除了gc(s)中顯式表明的外，尚隱含有無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)。為此，對無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)匹配有三種方案：
① 配置在z平面的原點(diǎn)，這些零點(diǎn)是(z-0)n-m=zn-m。
② 配置在z平面的z=-1處，這些零點(diǎn)是(z+1)n-m。
③ 配置在z平面的(0，-1)之間的某一點(diǎn)δ處，這些零點(diǎn)是(z+δ)n-m。
以上三種匹配方法對d(z)的相位都將產(chǎn)生不同的影響，其中方案(1)使相位超前，方案(2)使相位滯后，方案(3)可通過調(diào)整δ來改變相位。
零極點(diǎn)匹配映射法的處理過程如下：
① 首先，將gc(s)因式分解，然后，按z=ets關(guān)系把gc(s)的極點(diǎn)映射到z平面中去。例如，gc(s)的極點(diǎn)s=-a映射為d(z)的極點(diǎn)z=e-at。
② 根據(jù)關(guān)系式z=ets，把gc(s)的有限零點(diǎn)映射為z平面上的零點(diǎn)。例如，gc(s)的一個(gè)有限零點(diǎn)s=-b映射為d(z)的零點(diǎn)z=e-bt。
③ 根據(jù)相位要求選擇映射到無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)匹配方案。
④ 調(diào)整離散控制器的增益與連續(xù)控制器相匹配。換算方法有兩種：
(a) 根據(jù)終值定理按穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相等，即
來確定數(shù)字控制器d(z)的增益kz。
當(dāng)出現(xiàn)兩者穩(wěn)態(tài)值均為零的情況，可將輸入函數(shù)e(s)［e(z)］提高一個(gè)階次(如由階躍函數(shù)改為速度函數(shù))，再使穩(wěn)態(tài)值為一有限值，從而正確確定出kz。
(b)根據(jù)頻率特性在某些期望特征點(diǎn)上相等來確定kz。
由gc(s)可確定其頻率特性gc(jω)=｜gc(jω)｜.∠φ(ω)=a(ω).∠φ(ω)
同樣，由d(z)可確定其頻率特性d(ejωt)=｜d(jωt)｜.∠φz(ω)=az(ω).∠φz(ω)選取某一特征點(diǎn)ω=ω1，并使gc(jω1)和d(ejω1t)相等，即
幅頻 az(jω1)=a(jω1)
相頻 φz(jω1)=φ(jω1)
上式方程中必含kz和δ兩個(gè)參數(shù)，解此聯(lián)立方程即可求得。
通過以上各種離散化方法的理論分析，可以看出具體選擇何種方法將gc(s)等效離散到d(z)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇，并得到以下結(jié)論
采樣周期t必須取得足夠小，才能使d(z)接近gc(s)的性能；
雙線性變換法是最好的離散化方法，它在低采樣頻率下仍然保持良好的性能；
如果以增益作為唯一的準(zhǔn)則，零極點(diǎn)匹配法性能最好；
對連續(xù)傳遞函數(shù)gc(s)=gc1(s)gc2(s)…gcn(s)可分別對gc1(s)，gc2(s)，…gcn(s)等效離散得到d1(z)，d2(z)，…dn(z)，則d1(z)，d2(z)，…dn(z)的乘積即為d(z)。