如果被控對象存在純時間滯后，則對其控制的難度往往較大。如果在這種情況下，對系統(tǒng)的要求是無超調(diào)量或超調(diào)量很小，并且允許有較長的調(diào)節(jié)時間，則大林算法的控制效果往往比pid等控制算法具有更好的效果。假設(shè)有滯后特性的被控對象可以用帶有純滯后環(huán)節(jié)e-τs的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似。即，
(6.24)
或 (6.25)
帶零階保持器的一階對象的脈沖傳遞函數(shù)為
(6.26)
帶零階保持器的二階對象的脈沖傳遞函數(shù)為
(6.27)
式中
(6.28)
(1) 數(shù)字控制器d(z)的形式
不論是對一階慣性對象還是對二階慣性對象，大林算法的設(shè)計目標都是使閉環(huán)傳遞函數(shù)φ(s)相當于一個純滯后環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其中純滯后環(huán)節(jié)的滯后時間τ與被控對象的純滯后時間完全相同。這樣就能保證使系統(tǒng)不產(chǎn)生超調(diào)，同時保證其穩(wěn)定性。
因此
(6.29)
式中，tc為理想閉環(huán)系統(tǒng)的一階慣性時間常數(shù)。
對上式用零階保持器法離散化，得到
（6.30）
由于
(6.31)
所以，只要確定了被控對象，就可以由上式確定控制器。
① 被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)
將式(6.26)代入式(6.31)，得到
(6.32)
② 被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)
將式(6.27)代入式(6.31)，得到
(6.33)
因此，大林算法的主要步驟是：
(a) 選取期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)；
(b) 根據(jù)被控裝置的傳遞函數(shù)(6.26)或(6.27)計算廣義脈沖傳遞函數(shù)；
(c) 計算數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)。
〖例6.4〗已知被控裝置的傳遞函數(shù)為
試采用大林算法，確定數(shù)字控制器。
解：采樣周期t=1s，期望閉環(huán)傳遞函數(shù)為
由式（6.30）得
被控裝置廣義脈沖傳遞函數(shù)
根據(jù)式(6.31)得
系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)y(kt)及控制器的輸出信號u(kt)如圖6.15所示。從圖中曲線可以看出，輸出響應(yīng)有較大波紋，控制量u(kt)有振蕩周期為二倍采樣周期的大幅值擺動。
圖6.15 例6.4系統(tǒng)單位階躍的輸出響應(yīng)和控制量曲線
(2) 振鈴現(xiàn)象及其消除
所謂振鈴(ringing)現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出以二分之一采樣頻率大幅度衰減的振蕩。如上例6.4中所示。這與前面所介紹的最少拍有紋波系統(tǒng)中的紋波是不一樣的。紋波是由于控制器輸出一直是振蕩的，影響到系統(tǒng)的輸出一直有紋波。而振鈴現(xiàn)象中的振蕩是衰減的。由于被控對象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對系統(tǒng)的輸出幾乎無任何影響。但是振鈴現(xiàn)象卻會增加執(zhí)行機構(gòu)的磨損，在有交互作用的多參數(shù)控制系統(tǒng)中，振鈴現(xiàn)象還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
① 振鈴現(xiàn)象的分析
系統(tǒng)的輸出y(z)和數(shù)字控制器的輸出u(z)間有下列關(guān)系
系統(tǒng)的輸出y(z)和輸入函數(shù)的r(z)之間有下列關(guān)系
由上面兩式得到數(shù)字控制器的輸出u(z)與輸入函數(shù)的r(z)之間的關(guān)系為
(6.34)
定義
(6.35)
顯然，可由式(6.34)得到
ku(z)表達了數(shù)字控制器的輸出與輸入函數(shù)在閉環(huán)時的關(guān)系，是分析振鈴現(xiàn)象的基礎(chǔ)。
對于單位階躍輸入函數(shù)r(z)=1/(1-z-1)，含有極點z=1，如果ku(z)的極點在z平面的負實軸上，且與z=-1點相近，那么數(shù)字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項，而且瞬態(tài)項的符號在不同時刻是不同的。當兩瞬態(tài)項符號相同時，數(shù)字控制器的輸出控制作用加強，符號相反時，控制作用減弱，從而造成數(shù)字控制器的輸出序列大幅度波動。分析ku(z)在z平面福實軸上的極點分布情況，就可得出振鈴現(xiàn)象的有關(guān)結(jié)論。下面分析帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中的振鈴現(xiàn)象。
(a)帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)
被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)。有前面討論可知脈沖傳遞函數(shù)g(z)和閉環(huán)系統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)φ(z)，代入上式得
(6.36)
求得極點z=e-t/tc，顯然，該極點永遠是大于零的。故得出結(jié)論：在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，數(shù)字控制器輸出對輸入的脈沖傳遞函數(shù)不存在負實軸上的極點，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。
(b)帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)
被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)。將脈沖傳遞函數(shù)g(z)和閉環(huán)系統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)φ(z)代入，得
(6.37)
上式有兩個極點，第一個為z=e-t/tc，不會引起振鈴現(xiàn)象；第二個極點在z=-c2/c1。
因
說明可能出現(xiàn)負實軸上與z=-1相近的極點，這一極點將引起振鈴現(xiàn)象。
② 振鈴幅度ra
振鈴幅度ra用來衡量振鈴強烈的程度。為描述振鈴強烈的程度，應(yīng)找出數(shù)字控制器輸出量的最大值umax。由于這一最大值與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系難于用解析的式子描述出來，所以常用單位階躍作用下數(shù)字控制器第0次輸出量與第1次輸出量的差值來衡量振鈴現(xiàn)象強烈的程度。
設(shè)ku具有如下形式
(6.38)
在單位階躍輸入函數(shù)的作用下，數(shù)字控制器輸出量的z變換是
(6.39)
所以，ra=1-(b1-a1+1)=a1-b1
對于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)，其振鈴幅度為
(6.40)
③ 振鈴現(xiàn)象的消除
有兩種方法可用來消除振鈴現(xiàn)象。第一種方法是先找出d(z)中引起振鈴現(xiàn)象的因子(z=-1附近的極點)，然后令其中的z=1，根據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值。下面具體說明這種處理方法。前面已介紹在帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，數(shù)字控制器的d(z)為
其極點z=-c2/c1將引起振鈴現(xiàn)象。令極點因子(c1+c2z-1)中的z為z=1，就可消除這個振鈴極點。此時
消除振鈴極點后，數(shù)字控制器的形式為
(6.41)
這種消除振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻改變了數(shù)字控制器的動態(tài)特性，將影響閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。
第二種方法是從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性出發(fā)，選擇合適的采樣周期t及系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)tc，使得數(shù)字控制器的輸出避免產(chǎn)生強烈的振鈴現(xiàn)象。從式中可以看出，帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，振鈴幅度與被控對象的參數(shù)t1、t2有關(guān)，與閉環(huán)系統(tǒng)期望的時間常數(shù)tc以及采樣周期t也有關(guān)。通過適當選擇t及tc，可以把振鈴幅度抑制在最低限度以內(nèi)。有的情況下，系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)tc作為系統(tǒng)的性能指標被首先確定了，但仍可通過選擇采樣周期t來抑制振鈴現(xiàn)象。
④ 一種改進的消除振鈴現(xiàn)象的方法
上面的大林算法是從修改數(shù)字控制器入手，根據(jù)它所得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)很難估出暫態(tài)下系統(tǒng)輸出的變化規(guī)律。將被控對象對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)寫成
(6.42)
式中，g0(z)不含振鈴因子。
取期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
(6.43)
式中，φ0(z)為大林算法給出的期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)
(6.44)
于是有
(6.45)
顯然，ku(z)中也不含振鈴極點-zi了。同大林算法相比，這種方法得到的數(shù)字控制器稍復(fù)雜些。
⑤ 具有純滯后系統(tǒng)的數(shù)字控制器直接設(shè)計的步驟
具有純滯后的系統(tǒng)中直接設(shè)計數(shù)字控制器考慮的主要性能是控制系統(tǒng)不允許產(chǎn)生超調(diào)并要求系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)設(shè)計中一個值得注意的問題是振鈴現(xiàn)象。
下面是考慮振鈴現(xiàn)象影響時，設(shè)計數(shù)字控制器的一般步驟。
(a)根據(jù)系統(tǒng)的性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)tc，給出振鈴幅度ra的指標；
(b)根據(jù)振鈴幅度ra與采樣周期t的關(guān)系，解出給定振鈴幅度下對應(yīng)的采樣周期t，如果t有多解，則選擇較大的采樣周期；
(c)確定純滯后時間τ與采樣周期之比的最大整數(shù)n；
(d)求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)g(z)及閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)φ(z)；
(e)求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)d(z)。