下面用波動理論來分析階躍光纖的導(dǎo)波。
用波動理論進(jìn)行分析，通常有兩種解法：矢量解法和標(biāo)量解法。矢量解法是一種嚴(yán)格的傳統(tǒng)解法，求滿足邊界條件的波動方程的解。這種方法比較繁瑣，所得結(jié)果也比較復(fù)雜，而目前實用的光纖幾乎都可以看成是弱導(dǎo)波光纖，對于這種弱導(dǎo)波光纖，可以尋求一些近似解法，使問題得到簡化。
因此，這里將用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)出階躍型光纖的場方程、特征方程，并在此基礎(chǔ)上分析標(biāo)量模特性。
1.什么是標(biāo)量近似解法
由前面分析得知，在弱導(dǎo)波光纖中，由于，故有
而光纖中要形成導(dǎo)波時，θ1必須滿足全反射條件，即
將以上兩關(guān)系結(jié)合起來，即表示為
亦即在弱導(dǎo)波光纖，光射線幾乎與光纖軸平行時，才可形成導(dǎo)波。
由預(yù)備知識中知道，平面波的傳播方向（即射線方向）與平面波的e和h平面是垂直的，因而在弱導(dǎo)波光纖中的導(dǎo)波，由于它的射線方向幾乎與光纖軸平行，因此，弱導(dǎo)波光纖中的e和h幾乎與光纖軸線垂直。又由于把e和h只存在于與傳播方向垂直的橫截面上的這種場分布稱為是橫電磁波，即tem波。故弱導(dǎo)波光纖中的e和h分布是一種近似的tem波，即是近似的橫電磁波。
這種具有橫向場的極化方向（即電場的空間指向）在傳輸過程中保持不變的橫電磁波，可以看成為線極化波（或稱線偏振波）。 由于e（或h）近似在橫截面上，而且空間指向基本不變，這樣就可把一個大小和方向都沿傳輸方向變化的空間矢量e變?yōu)檠貍鬏敺较蚱浞较虿蛔儯▋H大小變化）的標(biāo)量e。因此，它將滿足標(biāo)量的亥姆霍茲方程，通過解該方程，求出弱導(dǎo)波光纖的近似解。這種方法稱為標(biāo)量近似解法。
2．標(biāo)量解的場方程
用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)場方程，是討論階躍光纖模式特性的基礎(chǔ)。
（1） 坐標(biāo)選取
幾乎所有光纖都制成軸對稱的形式。通常，討論圓柱形邊界問題時，一般采用圓柱坐標(biāo)系，便于在求解時應(yīng)用邊界條件。為了分析方便，同時采用直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系，如圖2-7所示。討論時，用直角坐標(biāo)系（x,y,z）表示它有幾個場分量，而用圓柱坐標(biāo)系（r,θ,z）表示各分量的空間變化情況。
（2） 場方程的推導(dǎo)思路及表達(dá)式
對于標(biāo)量解場方程的推導(dǎo)，只給出推導(dǎo)思路及最后結(jié)果。
① 首先求出橫向場ey的亥姆霍茲方程
如選橫向電場的極化方向與y軸一致，則橫向場只有ey分量，而ez=0,則
它在圓柱坐標(biāo)系中，滿足矢量的亥姆霍茲方程，而矢量的亥姆霍茲方程已在預(yù)備知識中給出，為
圖2-7坐標(biāo)系中的光纖
即
將關(guān)系代入，得出
則
此式為橫向場ey的標(biāo)量亥姆霍茲方程式。
② 將式（2-6）在圓柱坐標(biāo)系中展開得出
此式為二階三維偏微分方程。
③ 用分離變量法求解ey
a.將ey寫成三角函數(shù)積的形式，即
其中，a是常數(shù)，分別是坐標(biāo)r,θ,z的函數(shù)，表示橫向場ey沿這三個方向的變化情況。
b.根據(jù)物理概念，寫出的表示式
z(z)：表示導(dǎo)波沿光纖軸向z的變化規(guī)律。它沿z向呈行波狀態(tài)傳輸，如設(shè)相位常數(shù)為β，則可寫出
：表示ey沿圓周方向的變化規(guī)律。沿圓周當(dāng)θ變化2π時，回到原處，場不變化，則可以確定ey是以2π為周期的正弦或余弦函數(shù)?？蓪憺?br>c.求r(r)的表達(dá)式
r(r)表示場沿半徑方向的變化規(guī)律。通過上述的表示形式，ey可寫為
將式（2-8）代入式（2-7），經(jīng)過整理得出
可見，方程變成了只含有r(r)的二階常微分方程。方程中是常數(shù)，解此方程即可得到r(r)。
由于纖芯和包層的折射指數(shù)不同，分別為n1和n2，而且n1＞n2，這樣使得纖芯和包層中的場有一定差別。對于導(dǎo)波：，則在
纖芯中：
在包層中：
因此，纖芯中的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程，而包層中的方程，可化為標(biāo)準(zhǔn)的虛宗量的貝塞爾方程，由此得出r(r)的解答式為
d.得出ey的表達(dá)式
將式（2-10）代入（2-8），得出
如令：
常數(shù)a1,a2可根據(jù)邊界條件求出，為
將以上關(guān)系代入式（2-11）,得出
此式即為橫向得出ey的解答式。
此式表明：ey是沿z方向傳播，其相位常數(shù)為β；沿圓周方向按cosmθ規(guī)律變化（或sinmθ）；沿半徑方向，在纖芯中按貝塞爾函數(shù)規(guī)律振蕩，在包層中按第二類修正的貝塞爾函數(shù)規(guī)律衰減。
④ 根據(jù)麥?zhǔn)戏匠讨衑和h的關(guān)系，可得出橫向磁場hx的解答式。
由麥克斯韋方程可知為自由空間波阻抗。芯子和包層中的波阻抗，分別為和，則hx的表示式為
將式（2-12）代入，經(jīng)過推導(dǎo)后可得出
⑤ 根據(jù)電場和磁場的橫向分量，可用麥克斯韋方程求出軸向場分量ez、hz的解答式
由麥克斯韋方程可得出
將式（2-12）和式（2-13）代入上面ez、hz式中，經(jīng)過整理，得出以下四個解答式。
纖芯中軸向電場分量ez1的表達(dá)式為
纖芯中軸向磁場分量hz1的表達(dá)式為
包層中軸向電場分量ez2的表達(dá)式為
包層中軸向磁場分量hz2的表達(dá)式為
（3） 場方程中參量符號的含義
① 導(dǎo)波的徑向歸一化相位常數(shù)u
徑向歸一化相位常數(shù)u定義為
表明在纖芯中，導(dǎo)波沿徑向場分布規(guī)律
② 導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)w
徑向歸一化衰減常數(shù)w定義為
表明在光纖包層中，場的衰減規(guī)律
③ 光纖的歸一化頻率v
令
則
它是一個直接與光的頻率成正比的無量綱的量，通常稱為歸一化頻率。它決定于光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即纖芯半徑a，纖芯及包層的折射指數(shù)n1和n2，以及自由空間波數(shù)
3．標(biāo)量解的特征方程
要確定光纖中導(dǎo)波的特性，就需要確定參數(shù)u,w和β。式（2-15）和式（2-16）給出了三個參數(shù)的關(guān)系式，還需要再有一個關(guān)系式，這就是特征方程式。
用波動理論去求特征方程，就是利用邊界條件，令場的表示式滿足邊界條件，即可得到特征方程。
下面利用邊界條件之一，即在纖芯包界面的邊界條件r=a 處，電場和磁場的軸向分量連續(xù)，來求出特征方程。
由于在界面r=a 處ez1= ez2，將式（2-14a）和式（2-14c）代入此邊界條件，得出
此式要在任意的θ值上成立，就必須使等式兩端包含sin(m+1)θ的項和包含sin(m-1)θ的項的系數(shù)分別相等，于是可得到下面兩個等式
對于弱導(dǎo)波光纖，n1≈n2，可以忽略它們之間微小的差別，則上式可寫為
此式即為弱導(dǎo)波光纖標(biāo)量解的特征方程。利用第一類貝塞爾函數(shù)與第二類修正的貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可證明這兩個式子相等。這樣，可任選其中之一即可，現(xiàn)取式（2-18b）為標(biāo)量解的特征方程。
4．階躍型光纖標(biāo)量模的特性
（1）標(biāo)量模的定義
上面用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)了階躍光纖的場方程和特征方程，這種解法只適用于弱導(dǎo)波光纖，因為只有在這種情況下，光纖中傳播的波才可近似看為是tem波。它具有橫向場的極化方向保持不變的特點
所謂“極化”就是指隨著時間的變化，電場或磁場的空間方位是如何變化的。一般人們把電場的空間方位作為波的極化方向。
如果波的電場矢量空間取向不變，即其端點的軌跡為一直線時，就把這種極化稱為直線極化，簡稱為線極化。
對于弱導(dǎo)波光纖，已假定了其橫向場的極化方向保持不變，因此可認(rèn)為它的橫向場是線極化波，以lp表示。lp模的名稱來自英文linearly polarized mode，即線性偏振模的意思。在這種特定條件下傳播的模式，稱為標(biāo)量模，或lpmn模。
下標(biāo)m和n的值，表明了各模式的場型特性。一般來說，模式的下表m表示模式的場分量沿圓周方向最大值有幾對。下標(biāo)n表示模式的場分量沿光纖直徑的最大值有幾對。不同的m,n值，即對應(yīng)著不同的模式。
（2） 用標(biāo)量解法得出的模式是簡并的
不同的模式，有不同的場結(jié)構(gòu)。但如果它們具有相同的傳輸常數(shù)時，就認(rèn)為這些模式是簡并的。在弱導(dǎo)波光纖中，不同的模式，只要它們以相同的β值沿軸向傳輸，即表明這些模式是簡并的。
在前面分析場方程時，只討論了橫向電場ey分量，而一般來講，在橫截面上還存在ex分量，還可得出一個ex的線極化模式，而方程中的 又可取兩種分布，即這樣，就又出現(xiàn)了兩種模式，因此，在弱導(dǎo)波光纖中，可有相同傳輸常數(shù)的四個模式存在，也就是用一個標(biāo)量解可得出四個簡并模。
（3）截止時標(biāo)量模的特性
① 截止的概念
當(dāng)光纖中出現(xiàn)了輻射模時，即認(rèn)為導(dǎo)波截止
導(dǎo)波應(yīng)限制在纖芯中，以纖芯和包層的界面來導(dǎo)行，沿軸線方向傳輸。這時在包層內(nèi)的電磁場是按指數(shù)函數(shù)迅速衰減的。如果導(dǎo)波的傳輸常數(shù)為β。由全反射條件可知
各項取正弦，得
各項均乘以，得
其中，
因此，導(dǎo)波傳輸常數(shù)的變化范圍為
當(dāng)時，對應(yīng)于，這時電磁場能量不能有效地封閉在纖芯中，而向包層輻射，這種狀態(tài)稱為導(dǎo)波的臨界狀態(tài)。
當(dāng)時，輻射損耗將進(jìn)一步增大，使光波能量不再有效地封閉在纖芯中，這時，即認(rèn)為出現(xiàn)了輻射模，導(dǎo)波處于截止?fàn)顟B(tài)。
② 截止時的特征方程
由于傳輸常數(shù)是導(dǎo)波截止的臨界狀態(tài)，因此可通過式（2-16），求出截止時歸一化徑向衰減系數(shù)為
為了使前面得到的特征方程，在w→0的情況下得到簡化，根據(jù)數(shù)學(xué)知識知道，特征方程中的km(w)可用如下的近似關(guān)系來代替：
當(dāng)m=0時
當(dāng)m>0時
由上面近似式可以看出，無論m為何值時，特征方程（2-18b）的右端均為零，即
于是可得出，在截止情況下，無論m為何值，都有
當(dāng)u≠0時，要使此式成立，則必須
此式即為截止時的特征方程。
③ 截止情況下lpmn模的歸一化截止頻率vc
導(dǎo)波截止時，歸一化徑向相位常數(shù)、歸一化徑向衰減常數(shù)和歸一化頻率分別用uc、wc、vc表示。由前面得知：
而截止時
將式（2-19）代入，得出
即導(dǎo)波在截止?fàn)顟B(tài)下的歸一化徑向相位常數(shù)uc與光纖歸一化截止頻率vc相等。如果求出了uc值，即可知vc，也就決定了各模式的截止條件。
前面已求出，當(dāng)u≠0時，截止時的特征方程為
滿足此關(guān)系的u值，就是m-1階貝塞爾函數(shù)的根值，這個根值一般用μmn表示，是m階貝塞爾函數(shù)的第n個根值。m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，n是根的序號，即是指第幾個根。
聯(lián)系到前面分析弱導(dǎo)波光纖各分量的解答式，即式（2-12）~（2-14）中不同的m,n值將對應(yīng)于場的不同分布狀況，故可以說，對應(yīng)于不同的lpmn模式。例如
當(dāng)m=0時為lp0n模式，其特征方程為
則由貝塞爾函數(shù)知識，知道
當(dāng)m=1時為lp1n模式，其特征方程為，則
當(dāng)m=2時為lp2n模式，其特征方程為，則
將以上各值列于表2-1中，即為截止情況下lpmn模式的uc值。
表2-1 截止情況下lpmn模的uc值
n
m
0
1
2
1
0
2.40483
3.83171
2
3.83171
5.52003
7.01559
3
7.01559
8.65373
10.17347
由于截止時uc= vc，則此表也代表了各lpmn模的歸一化截止頻率vc值。而模式的傳輸條件：v>vc時可傳;v≤vc時截止。因此當(dāng)模式的歸一化頻率值v=vc時，則該模式截止。
由表2-1看出，m=0,n=1的lp01模的 uc=vc=0，說明此模式在任何頻率都可以傳輸，即lp01的截止波長最長。在導(dǎo)波系統(tǒng)中，截止波長最長的模是最低模，稱為基?；蛑髂！Ｆ溆嗨心Ｊ骄鶠楦叽文?。
在階躍型光纖中，lp01模是最低工作模式（基膜），lp11模是第一個高次模。因此，要保證階躍光纖中只傳輸單模時，必須抑制住第一高次模，即
此條件為階躍型光纖的單模傳輸條件。
（4）遠(yuǎn)離截止時標(biāo)量模的特性
① 當(dāng)v→∞時，即為遠(yuǎn)離截止。
由式（2-17）可知
其中代入上式，經(jīng)過整理得出
當(dāng)時，要使此式成立，則必須使，即此時纖芯半徑相對于來說，相當(dāng)于無限大空間，可認(rèn)為光波是在無邊界的介質(zhì)中傳播，這時其傳播常數(shù)相當(dāng)于在光纖中沿軸向傳輸，即
也就是說，當(dāng)時，v>>vc，大多數(shù)模式將遠(yuǎn)離截止。
因此，當(dāng)時的這種極限情況，可認(rèn)為是模式遠(yuǎn)離截止時的狀態(tài)。
② 遠(yuǎn)離截止時標(biāo)量模的特征方程
由于此時，將它代入式（2-16），可得
其中，因此。此時m階第二類修正的貝塞爾函數(shù)km(w)可用大宗量情況下的近似式，即
將它代入式（2-18b），得出
要使得此關(guān)系式成立，則必須
此式即為遠(yuǎn)離截止時，標(biāo)量模的特征方程。
③ 遠(yuǎn)離截止時lpmn模的u值
式（2-22）中的u值是m階貝塞爾函數(shù)的根，一般用μmn表示，即u= μmn ,其中 m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，n是根的序號。一組m,n值有一個相應(yīng)的μmn，即對應(yīng)著一個u值，也就對應(yīng)著一個模式。由貝塞爾函數(shù)知識知道，對于一個給定的m值，它所對應(yīng)的根不是一個而是一族。
利用遠(yuǎn)離截止時的特征方程，在不同的m值情況下，即可求出所對應(yīng)的模式的一族根值。例如，
當(dāng)m=0時為lp0n模式，其特征方程為，則零階貝塞爾函數(shù)的根為μ0n，其值為
當(dāng)m=1時為lp1n模式，其特征方程為，則
要注意的是μmn中的下標(biāo)n是根的序號。故是從“1”而不是從“0”開始。
將以上各值列于表2-2中，即為遠(yuǎn)離截止情況時lpmn模式的u值。
以上是時的情況，此時光能完全集中在芯子中，包層中沒有能量。
5．階躍光纖中的功率分布
計算各lp模在纖芯和包層里所占功率的百分比是有實際意義的。
對于某個模式，理想情況下其電磁場能量應(yīng)被封閉在纖芯中沿軸向傳輸，但實際上，在纖芯和包層的界面處，電磁場并不為零，而是由纖芯中的振蕩形式轉(zhuǎn)變?yōu)榘鼘又械闹笖?shù)衰減。因此，要傳輸?shù)膶?dǎo)波能量大部分是在纖芯中傳輸，而有一部分則在包層中傳輸。功率在纖芯和包層里所占比例的大小和該模式的截止頻率有關(guān)。 當(dāng)v→∞時，它的能量將聚集在纖芯中；
當(dāng)v→vc時，能量的大部分是在包層里，這時的導(dǎo)波將成為輻射模。
表2-2 遠(yuǎn)離截止時lpmn模的u值
0
1
2
1
2.40483
3.83171
5.13562
2
5.52008
7.01559
8.41724
3
8.65373
10.17347
11.61984
通過計算各模式在纖芯和包層里的功率可以看出能量在纖芯中集中的程度。計算方法是將沿軸線方向的坡印廷矢量，分別在光纖的芯子和包層的橫截面上進(jìn)行積分，就可以求出在纖芯中傳輸?shù)墓β蕄i和在包層中傳輸?shù)墓β蕄0，再將芯子和包層中的功率相加，即可得出光纖中的總功率pt。
計算公式的具體推導(dǎo)步驟省略，這里只給出最后的結(jié)果：
纖芯中的功率pi為
包層中的功率p0為
光纖中的總功率pt為
6．階躍光纖中導(dǎo)模數(shù)量的估算
在光纖中，當(dāng)不能滿足單模傳輸條件（0<v<2.40483）時，將有多個導(dǎo)波同時傳輸，故稱多模光纖。傳輸模數(shù)量的多少，用m表示。
估算光纖中的模數(shù)量，可用近似方法求得。首先根據(jù)截止時的特征方程，求出恰處于截止?fàn)顟B(tài)的模式，則比該模式低的所有模式都處于導(dǎo)行狀態(tài)，因此，便可計算出導(dǎo)波的數(shù)量。具體過程從略，這里只給出最后結(jié)果：
這是階躍多模光纖近似的模數(shù)量表示式 ?？梢钥闯?，導(dǎo)模數(shù)量是由光纖的歸一化頻率決定的。當(dāng)纖芯半徑a越大，工作頻率越高時，傳輸?shù)膶?dǎo)波模數(shù)量就越多。