下面用波動(dòng)理論來(lái)分析階躍光纖的導(dǎo)波。
用波動(dòng)理論進(jìn)行分析，通常有兩種解法：矢量解法和標(biāo)量解法。矢量解法是一種嚴(yán)格的傳統(tǒng)解法，求滿足邊界條件的波動(dòng)方程的解。這種方法比較繁瑣，所得結(jié)果也比較復(fù)雜，而目前實(shí)用的光纖幾乎都可以看成是弱導(dǎo)波光纖，對(duì)于這種弱導(dǎo)波光纖，可以尋求一些近似解法，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。
因此，這里將用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)出階躍型光纖的場(chǎng)方程、特征方程，并在此基礎(chǔ)上分析標(biāo)量模特性。
1.什么是標(biāo)量近似解法
由前面分析得知，在弱導(dǎo)波光纖中，由于，故有
而光纖中要形成導(dǎo)波時(shí)，θ1必須滿足全反射條件，即
將以上兩關(guān)系結(jié)合起來(lái)，即表示為
亦即在弱導(dǎo)波光纖，光射線幾乎與光纖軸平行時(shí)，才可形成導(dǎo)波。
由預(yù)備知識(shí)中知道，平面波的傳播方向（即射線方向）與平面波的e和h平面是垂直的，因而在弱導(dǎo)波光纖中的導(dǎo)波，由于它的射線方向幾乎與光纖軸平行，因此，弱導(dǎo)波光纖中的e和h幾乎與光纖軸線垂直。又由于把e和h只存在于與傳播方向垂直的橫截面上的這種場(chǎng)分布稱為是橫電磁波，即tem波。故弱導(dǎo)波光纖中的e和h分布是一種近似的tem波，即是近似的橫電磁波。
這種具有橫向場(chǎng)的極化方向（即電場(chǎng)的空間指向）在傳輸過(guò)程中保持不變的橫電磁波，可以看成為線極化波（或稱線偏振波）。 由于e（或h）近似在橫截面上，而且空間指向基本不變，這樣就可把一個(gè)大小和方向都沿傳輸方向變化的空間矢量e變?yōu)檠貍鬏敺较蚱浞较虿蛔儯▋H大小變化）的標(biāo)量e。因此，它將滿足標(biāo)量的亥姆霍茲方程，通過(guò)解該方程，求出弱導(dǎo)波光纖的近似解。這種方法稱為標(biāo)量近似解法。
2．標(biāo)量解的場(chǎng)方程
用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)場(chǎng)方程，是討論階躍光纖模式特性的基礎(chǔ)。
（1） 坐標(biāo)選取
幾乎所有光纖都制成軸對(duì)稱的形式。通常，討論圓柱形邊界問(wèn)題時(shí)，一般采用圓柱坐標(biāo)系，便于在求解時(shí)應(yīng)用邊界條件。為了分析方便，同時(shí)采用直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系，如圖2-7所示。討論時(shí)，用直角坐標(biāo)系（x,y,z）表示它有幾個(gè)場(chǎng)分量，而用圓柱坐標(biāo)系（r,θ,z）表示各分量的空間變化情況。
（2） 場(chǎng)方程的推導(dǎo)思路及表達(dá)式
對(duì)于標(biāo)量解場(chǎng)方程的推導(dǎo)，只給出推導(dǎo)思路及最后結(jié)果。
① 首先求出橫向場(chǎng)ey的亥姆霍茲方程
如選橫向電場(chǎng)的極化方向與y軸一致，則橫向場(chǎng)只有ey分量，而ez=0,則
它在圓柱坐標(biāo)系中，滿足矢量的亥姆霍茲方程，而矢量的亥姆霍茲方程已在預(yù)備知識(shí)中給出，為
圖2-7坐標(biāo)系中的光纖
即
將關(guān)系代入，得出
則
此式為橫向場(chǎng)ey的標(biāo)量亥姆霍茲方程式。
② 將式（2-6）在圓柱坐標(biāo)系中展開(kāi)得出
此式為二階三維偏微分方程。
③ 用分離變量法求解ey
a.將ey寫(xiě)成三角函數(shù)積的形式，即
其中，a是常數(shù)，分別是坐標(biāo)r,θ,z的函數(shù)，表示橫向場(chǎng)ey沿這三個(gè)方向的變化情況。
b.根據(jù)物理概念，寫(xiě)出的表示式
z(z)：表示導(dǎo)波沿光纖軸向z的變化規(guī)律。它沿z向呈行波狀態(tài)傳輸，如設(shè)相位常數(shù)為β，則可寫(xiě)出
：表示ey沿圓周方向的變化規(guī)律。沿圓周當(dāng)θ變化2π時(shí)，回到原處，場(chǎng)不變化，則可以確定ey是以2π為周期的正弦或余弦函數(shù)。可寫(xiě)為
c.求r(r)的表達(dá)式
r(r)表示場(chǎng)沿半徑方向的變化規(guī)律。通過(guò)上述的表示形式，ey可寫(xiě)為
將式（2-8）代入式（2-7），經(jīng)過(guò)整理得出
可見(jiàn)，方程變成了只含有r(r)的二階常微分方程。方程中是常數(shù)，解此方程即可得到r(r)。
由于纖芯和包層的折射指數(shù)不同，分別為n1和n2，而且n1＞n2，這樣使得纖芯和包層中的場(chǎng)有一定差別。對(duì)于導(dǎo)波：，則在
纖芯中：
在包層中：
因此，纖芯中的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程，而包層中的方程，可化為標(biāo)準(zhǔn)的虛宗量的貝塞爾方程，由此得出r(r)的解答式為
d.得出ey的表達(dá)式
將式（2-10）代入（2-8），得出
如令：
常數(shù)a1,a2可根據(jù)邊界條件求出，為
將以上關(guān)系代入式（2-11）,得出
此式即為橫向得出ey的解答式。
此式表明：ey是沿z方向傳播，其相位常數(shù)為β；沿圓周方向按cosmθ規(guī)律變化（或sinmθ）；沿半徑方向，在纖芯中按貝塞爾函數(shù)規(guī)律振蕩，在包層中按第二類修正的貝塞爾函數(shù)規(guī)律衰減。
④ 根據(jù)麥?zhǔn)戏匠讨衑和h的關(guān)系，可得出橫向磁場(chǎng)hx的解答式。
由麥克斯韋方程可知為自由空間波阻抗。芯子和包層中的波阻抗，分別為和，則hx的表示式為
將式（2-12）代入，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后可得出
⑤ 根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的橫向分量，可用麥克斯韋方程求出軸向場(chǎng)分量ez、hz的解答式
由麥克斯韋方程可得出
將式（2-12）和式（2-13）代入上面ez、hz式中，經(jīng)過(guò)整理，得出以下四個(gè)解答式。
纖芯中軸向電場(chǎng)分量ez1的表達(dá)式為
纖芯中軸向磁場(chǎng)分量hz1的表達(dá)式為
包層中軸向電場(chǎng)分量ez2的表達(dá)式為
包層中軸向磁場(chǎng)分量hz2的表達(dá)式為
（3） 場(chǎng)方程中參量符號(hào)的含義
① 導(dǎo)波的徑向歸一化相位常數(shù)u
徑向歸一化相位常數(shù)u定義為
表明在纖芯中，導(dǎo)波沿徑向場(chǎng)分布規(guī)律
② 導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)w
徑向歸一化衰減常數(shù)w定義為
表明在光纖包層中，場(chǎng)的衰減規(guī)律
③ 光纖的歸一化頻率v
令
則
它是一個(gè)直接與光的頻率成正比的無(wú)量綱的量，通常稱為歸一化頻率。它決定于光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即纖芯半徑a，纖芯及包層的折射指數(shù)n1和n2，以及自由空間波數(shù)
3．標(biāo)量解的特征方程
要確定光纖中導(dǎo)波的特性，就需要確定參數(shù)u,w和β。式（2-15）和式（2-16）給出了三個(gè)參數(shù)的關(guān)系式，還需要再有一個(gè)關(guān)系式，這就是特征方程式。
用波動(dòng)理論去求特征方程，就是利用邊界條件，令場(chǎng)的表示式滿足邊界條件，即可得到特征方程。
下面利用邊界條件之一，即在纖芯包界面的邊界條件r=a 處，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的軸向分量連續(xù)，來(lái)求出特征方程。
由于在界面r=a 處ez1= ez2，將式（2-14a）和式（2-14c）代入此邊界條件，得出
此式要在任意的θ值上成立，就必須使等式兩端包含sin(m+1)θ的項(xiàng)和包含sin(m-1)θ的項(xiàng)的系數(shù)分別相等，于是可得到下面兩個(gè)等式
對(duì)于弱導(dǎo)波光纖，n1≈n2，可以忽略它們之間微小的差別，則上式可寫(xiě)為
此式即為弱導(dǎo)波光纖標(biāo)量解的特征方程。利用第一類貝塞爾函數(shù)與第二類修正的貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可證明這兩個(gè)式子相等。這樣，可任選其中之一即可，現(xiàn)取式（2-18b）為標(biāo)量解的特征方程。
4．階躍型光纖標(biāo)量模的特性
（1）標(biāo)量模的定義
上面用標(biāo)量近似解法推導(dǎo)了階躍光纖的場(chǎng)方程和特征方程，這種解法只適用于弱導(dǎo)波光纖，因?yàn)橹挥性谶@種情況下，光纖中傳播的波才可近似看為是tem波。它具有橫向場(chǎng)的極化方向保持不變的特點(diǎn)
所謂“極化”就是指隨著時(shí)間的變化，電場(chǎng)或磁場(chǎng)的空間方位是如何變化的。一般人們把電場(chǎng)的空間方位作為波的極化方向。
如果波的電場(chǎng)矢量空間取向不變，即其端點(diǎn)的軌跡為一直線時(shí)，就把這種極化稱為直線極化，簡(jiǎn)稱為線極化。
對(duì)于弱導(dǎo)波光纖，已假定了其橫向場(chǎng)的極化方向保持不變，因此可認(rèn)為它的橫向場(chǎng)是線極化波，以lp表示。lp模的名稱來(lái)自英文linearly polarized mode，即線性偏振模的意思。在這種特定條件下傳播的模式，稱為標(biāo)量模，或lpmn模。
下標(biāo)m和n的值，表明了各模式的場(chǎng)型特性。一般來(lái)說(shuō)，模式的下表m表示模式的場(chǎng)分量沿圓周方向最大值有幾對(duì)。下標(biāo)n表示模式的場(chǎng)分量沿光纖直徑的最大值有幾對(duì)。不同的m,n值，即對(duì)應(yīng)著不同的模式。
（2） 用標(biāo)量解法得出的模式是簡(jiǎn)并的
不同的模式，有不同的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。但如果它們具有相同的傳輸常數(shù)時(shí)，就認(rèn)為這些模式是簡(jiǎn)并的。在弱導(dǎo)波光纖中，不同的模式，只要它們以相同的β值沿軸向傳輸，即表明這些模式是簡(jiǎn)并的。
在前面分析場(chǎng)方程時(shí)，只討論了橫向電場(chǎng)ey分量，而一般來(lái)講，在橫截面上還存在ex分量，還可得出一個(gè)ex的線極化模式，而方程中的 又可取兩種分布，即這樣，就又出現(xiàn)了兩種模式，因此，在弱導(dǎo)波光纖中，可有相同傳輸常數(shù)的四個(gè)模式存在，也就是用一個(gè)標(biāo)量解可得出四個(gè)簡(jiǎn)并模。
（3）截止時(shí)標(biāo)量模的特性
① 截止的概念
當(dāng)光纖中出現(xiàn)了輻射模時(shí)，即認(rèn)為導(dǎo)波截止
導(dǎo)波應(yīng)限制在纖芯中，以纖芯和包層的界面來(lái)導(dǎo)行，沿軸線方向傳輸。這時(shí)在包層內(nèi)的電磁場(chǎng)是按指數(shù)函數(shù)迅速衰減的。如果導(dǎo)波的傳輸常數(shù)為β。由全反射條件可知
各項(xiàng)取正弦，得
各項(xiàng)均乘以，得
其中，
因此，導(dǎo)波傳輸常數(shù)的變化范圍為
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于，這時(shí)電磁場(chǎng)能量不能有效地封閉在纖芯中，而向包層輻射，這種狀態(tài)稱為導(dǎo)波的臨界狀態(tài)。
當(dāng)時(shí)，輻射損耗將進(jìn)一步增大，使光波能量不再有效地封閉在纖芯中，這時(shí)，即認(rèn)為出現(xiàn)了輻射模，導(dǎo)波處于截止?fàn)顟B(tài)。
② 截止時(shí)的特征方程
由于傳輸常數(shù)是導(dǎo)波截止的臨界狀態(tài)，因此可通過(guò)式（2-16），求出截止時(shí)歸一化徑向衰減系數(shù)為
為了使前面得到的特征方程，在w→0的情況下得到簡(jiǎn)化，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知道，特征方程中的km(w)可用如下的近似關(guān)系來(lái)代替：
當(dāng)m=0時(shí)
當(dāng)m>0時(shí)
由上面近似式可以看出，無(wú)論m為何值時(shí)，特征方程（2-18b）的右端均為零，即
于是可得出，在截止情況下，無(wú)論m為何值，都有
當(dāng)u≠0時(shí)，要使此式成立，則必須
此式即為截止時(shí)的特征方程。
③ 截止情況下lpmn模的歸一化截止頻率vc
導(dǎo)波截止時(shí)，歸一化徑向相位常數(shù)、歸一化徑向衰減常數(shù)和歸一化頻率分別用uc、wc、vc表示。由前面得知：
而截止時(shí)
將式（2-19）代入，得出
即導(dǎo)波在截止?fàn)顟B(tài)下的歸一化徑向相位常數(shù)uc與光纖歸一化截止頻率vc相等。如果求出了uc值，即可知vc，也就決定了各模式的截止條件。
前面已求出，當(dāng)u≠0時(shí)，截止時(shí)的特征方程為
滿足此關(guān)系的u值，就是m-1階貝塞爾函數(shù)的根值，這個(gè)根值一般用μmn表示，是m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根值。m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，n是根的序號(hào)，即是指第幾個(gè)根。
聯(lián)系到前面分析弱導(dǎo)波光纖各分量的解答式，即式（2-12）~（2-14）中不同的m,n值將對(duì)應(yīng)于場(chǎng)的不同分布狀況，故可以說(shuō)，對(duì)應(yīng)于不同的lpmn模式。例如
當(dāng)m=0時(shí)為lp0n模式，其特征方程為
則由貝塞爾函數(shù)知識(shí)，知道
當(dāng)m=1時(shí)為lp1n模式，其特征方程為，則
當(dāng)m=2時(shí)為lp2n模式，其特征方程為，則
將以上各值列于表2-1中，即為截止情況下lpmn模式的uc值。
表2-1 截止情況下lpmn模的uc值
n
m
0
1
2
1
0
2.40483
3.83171
2
3.83171
5.52003
7.01559
3
7.01559
8.65373
10.17347
由于截止時(shí)uc= vc，則此表也代表了各lpmn模的歸一化截止頻率vc值。而模式的傳輸條件：v>vc時(shí)可傳;v≤vc時(shí)截止。因此當(dāng)模式的歸一化頻率值v=vc時(shí)，則該模式截止。
由表2-1看出，m=0,n=1的lp01模的 uc=vc=0，說(shuō)明此模式在任何頻率都可以傳輸，即lp01的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)。在導(dǎo)波系統(tǒng)中，截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)的模是最低模，稱為基模或主模。其余所有模式均為高次模。
在階躍型光纖中，lp01模是最低工作模式（基膜），lp11模是第一個(gè)高次模。因此，要保證階躍光纖中只傳輸單模時(shí)，必須抑制住第一高次模，即
此條件為階躍型光纖的單模傳輸條件。
（4）遠(yuǎn)離截止時(shí)標(biāo)量模的特性
① 當(dāng)v→∞時(shí)，即為遠(yuǎn)離截止。
由式（2-17）可知
其中代入上式，經(jīng)過(guò)整理得出
當(dāng)時(shí)，要使此式成立，則必須使，即此時(shí)纖芯半徑相對(duì)于來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于無(wú)限大空間，可認(rèn)為光波是在無(wú)邊界的介質(zhì)中傳播，這時(shí)其傳播常數(shù)相當(dāng)于在光纖中沿軸向傳輸，即
也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，v>>vc，大多數(shù)模式將遠(yuǎn)離截止。
因此，當(dāng)時(shí)的這種極限情況，可認(rèn)為是模式遠(yuǎn)離截止時(shí)的狀態(tài)。
② 遠(yuǎn)離截止時(shí)標(biāo)量模的特征方程
由于此時(shí)，將它代入式（2-16），可得
其中，因此。此時(shí)m階第二類修正的貝塞爾函數(shù)km(w)可用大宗量情況下的近似式，即
將它代入式（2-18b），得出
要使得此關(guān)系式成立，則必須
此式即為遠(yuǎn)離截止時(shí)，標(biāo)量模的特征方程。
③ 遠(yuǎn)離截止時(shí)lpmn模的u值
式（2-22）中的u值是m階貝塞爾函數(shù)的根，一般用μmn表示，即u= μmn ,其中 m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，n是根的序號(hào)。一組m,n值有一個(gè)相應(yīng)的μmn，即對(duì)應(yīng)著一個(gè)u值，也就對(duì)應(yīng)著一個(gè)模式。由貝塞爾函數(shù)知識(shí)知道，對(duì)于一個(gè)給定的m值，它所對(duì)應(yīng)的根不是一個(gè)而是一族。
利用遠(yuǎn)離截止時(shí)的特征方程，在不同的m值情況下，即可求出所對(duì)應(yīng)的模式的一族根值。例如，
當(dāng)m=0時(shí)為lp0n模式，其特征方程為，則零階貝塞爾函數(shù)的根為μ0n，其值為
當(dāng)m=1時(shí)為lp1n模式，其特征方程為，則
要注意的是μmn中的下標(biāo)n是根的序號(hào)。故是從“1”而不是從“0”開(kāi)始。
將以上各值列于表2-2中，即為遠(yuǎn)離截止情況時(shí)lpmn模式的u值。
以上是時(shí)的情況，此時(shí)光能完全集中在芯子中，包層中沒(méi)有能量。
5．階躍光纖中的功率分布
計(jì)算各lp模在纖芯和包層里所占功率的百分比是有實(shí)際意義的。
對(duì)于某個(gè)模式，理想情況下其電磁場(chǎng)能量應(yīng)被封閉在纖芯中沿軸向傳輸，但實(shí)際上，在纖芯和包層的界面處，電磁場(chǎng)并不為零，而是由纖芯中的振蕩形式轉(zhuǎn)變?yōu)榘鼘又械闹笖?shù)衰減。因此，要傳輸?shù)膶?dǎo)波能量大部分是在纖芯中傳輸，而有一部分則在包層中傳輸。功率在纖芯和包層里所占比例的大小和該模式的截止頻率有關(guān)。 當(dāng)v→∞時(shí)，它的能量將聚集在纖芯中；
當(dāng)v→vc時(shí)，能量的大部分是在包層里，這時(shí)的導(dǎo)波將成為輻射模。
表2-2 遠(yuǎn)離截止時(shí)lpmn模的u值
0
1
2
1
2.40483
3.83171
5.13562
2
5.52008
7.01559
8.41724
3
8.65373
10.17347
11.61984
通過(guò)計(jì)算各模式在纖芯和包層里的功率可以看出能量在纖芯中集中的程度。計(jì)算方法是將沿軸線方向的坡印廷矢量，分別在光纖的芯子和包層的橫截面上進(jìn)行積分，就可以求出在纖芯中傳輸?shù)墓β蕄i和在包層中傳輸?shù)墓β蕄0，再將芯子和包層中的功率相加，即可得出光纖中的總功率pt。
計(jì)算公式的具體推導(dǎo)步驟省略，這里只給出最后的結(jié)果：
纖芯中的功率pi為
包層中的功率p0為
光纖中的總功率pt為
6．階躍光纖中導(dǎo)模數(shù)量的估算
在光纖中，當(dāng)不能滿足單模傳輸條件（0<v<2.40483）時(shí)，將有多個(gè)導(dǎo)波同時(shí)傳輸，故稱多模光纖。傳輸模數(shù)量的多少，用m表示。
估算光纖中的模數(shù)量，可用近似方法求得。首先根據(jù)截止時(shí)的特征方程，求出恰處于截止?fàn)顟B(tài)的模式，則比該模式低的所有模式都處于導(dǎo)行狀態(tài)，因此，便可計(jì)算出導(dǎo)波的數(shù)量。具體過(guò)程從略，這里只給出最后結(jié)果：
這是階躍多模光纖近似的模數(shù)量表示式 ?？梢钥闯觯瑢?dǎo)模數(shù)量是由光纖的歸一化頻率決定的。當(dāng)纖芯半徑a越大，工作頻率越高時(shí)，傳輸?shù)膶?dǎo)波模數(shù)量就越多。