1、定義
邏輯代數(shù)(布爾代數(shù))：數(shù)學(xué)方法描述自然界和社會(huì)的各種因果關(guān)系(邏輯關(guān)系)的方法稱為邏輯代數(shù)。
邏輯代數(shù)的特點(diǎn)：①變量取值只有0和1兩個(gè)；②只有三種且基本運(yùn)算：邏輯乘(與運(yùn)算)、邏輯加(或運(yùn)算)、邏輯否定(非運(yùn)算或稱求反)。
數(shù)字電路也稱邏輯電路或開(kāi)關(guān)電路。
(1)邏輯電平：數(shù)字電路中輸入、輸出信號(hào)大小均以邏輯值表示，電路某點(diǎn)電位高于某值(如2.4v)稱為高電平“1”，低于某值(如0.4v)稱為低電乎“0”。
(2)邏輯約定：兩種邏輯約定。
正邏輯：約定高電平為“1”，低電平為“0”。
負(fù)邏輯：約定低電平為“1”，高電乎為“0”。
大多數(shù)系統(tǒng)中均采用正邏輯。
(3)正險(xiǎn)沖與負(fù)脈沖：根據(jù)所用邏輯電路元件不同，數(shù)字電路中工作信號(hào)有正脈沖和負(fù)脈沖，這兩種脈沖都可采用正邏輯或負(fù)邏輯約定。
2、基本邏輯運(yùn)算及其實(shí)現(xiàn)——分立元件門(mén)電路
(1)邏輯“與”(邏輯乘)：決定某事件(f)成立與否的諸條件(a，b，…)必須同時(shí)成立，該事件才能成立，這種邏輯關(guān)系稱為邏輯“與”?？蓪?xiě)成：f<<a b
實(shí)現(xiàn)“與”運(yùn)算的最簡(jiǎn)電子電路稱為與門(mén)。邏輯代數(shù)中輸入變量(a，b，…)和輸出變置(f)的取值只有0和1兩個(gè)。將輸人變量的不同取值組合與輸出變量的關(guān)系列成表格稱為邏輯狀
態(tài)真值表。“與”邏輯關(guān)系可用口訣來(lái)助記：“有0出0，全1出1”。
(2)邏輯“或”(邏輯加)：決定某事件(f)成立與否的諸條件(a，b，…)中之一成立，該事件就成立，這種邏輯共系稱為邏輯“或”?？蓪?xiě)成：f<<a b c ……
實(shí)現(xiàn)“或”運(yùn)算的電子電路稱為或門(mén)，口訣是：“有1出1，全0出0”。
(3)邏輯“非”(邏輯否定)：當(dāng)某條件a成立時(shí)，事件f產(chǎn)生與a相反的結(jié)果?？蓪?xiě)成：f<</a
實(shí)現(xiàn)“非”運(yùn)算的電子電路稱為非門(mén)，口訣：“非0則l，非1則0”。
(4)復(fù)合邏輯運(yùn)算：實(shí)現(xiàn)由上述三種基本邏輯運(yùn)算組合而成的幾種常用的復(fù)合運(yùn)算關(guān)系的電路是市場(chǎng)供應(yīng)的最基本邏輯器件。常見(jiàn)的復(fù)合邏輯門(mén)器件有與非門(mén)、或非門(mén)、異或門(mén)、與或非門(mén)等。
3、邏輯代數(shù)的基本定理和定律
4、邏輯函數(shù)的表示方法
一個(gè)復(fù)雜的邏輯問(wèn)題可用由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算組合而成的邏輯函數(shù)來(lái)表達(dá)。其中輸入條件是函數(shù)的自變量，其值取1稱原變量，取0稱反變量。如原變量為a，反變量為/a。輸出邏輯結(jié)果為因變量，若因變量取1則稱原函數(shù)，取0則稱反函數(shù)。如原函數(shù)為f，反函數(shù)為/f。邏輯函數(shù)有4種表示方法：
(1)邏輯狀態(tài)真值表：簡(jiǎn)稱狀態(tài)表或其值表。將全部自變量的所有取值組合與其相應(yīng)的輸出結(jié)果值列成一表，稱為邏輯狀態(tài)真值表。
一個(gè)自變量有兩種取值(0和1)．兩個(gè)自變量有4種取值組合(00，01，10，11)，3個(gè)自變最有8種取值組合，n個(gè)自變量有2n種取值組合。分析邏輯問(wèn)題應(yīng)先列出狀態(tài)表，它保證了分析問(wèn)題的全面性，因?yàn)檫壿嫚顟B(tài)表是唯一的。
(2)邏輯代數(shù)表達(dá)式：邏輯函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式有原函數(shù)表達(dá)式和反函數(shù)表達(dá)式。前者因變量取1，后者則取0。從基本運(yùn)算關(guān)系分．又有與或表達(dá)式和或與表達(dá)式，后者非本課程要求。
與或表達(dá)式是使因變量取1的各自變量取值組合的或運(yùn)算(相加)．組合中各自變量(原變量或反變量)則進(jìn)行與運(yùn)算(相乘)。當(dāng)表達(dá)式中的與項(xiàng)包含函數(shù)的全部自變量(原變量或反變置)，且每個(gè)自變量在該與項(xiàng)中只出現(xiàn)一次時(shí)，稱為最小項(xiàng)。同一邏輯問(wèn)題的邏輯函數(shù)表達(dá)式可寫(xiě)成多種形式，但只有全部用最小項(xiàng)組成的與或表達(dá)式是唯—的。如某三變量邏輯函數(shù)為
將各最小項(xiàng)代表的二進(jìn)制取值組合用，則函數(shù)可寫(xiě)成：
該表達(dá)式可由狀態(tài)表直接列寫(xiě)出來(lái)。
(3)邏輯圖：用邏輯符號(hào)表示的基本邏輯元件實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)功能的電路圖稱為邏輯圖。由于一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以寫(xiě)成多種形式，因此同—個(gè)邏輯函數(shù)可以用不同的邏輯元件來(lái)實(shí)現(xiàn)，畫(huà)出多種形式的邏輯電路圖。
(4)卡諾圖：將狀態(tài)表中每一個(gè)變量取值組合(即每一個(gè)最小項(xiàng))都用一個(gè)小方塊表示，然后再將所有小方塊按一定規(guī)則排列起來(lái)，就成為卡諾圖。
5、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法
(1)邏輯函數(shù)式的常見(jiàn)形式
一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。常見(jiàn)的邏輯式主要有5種形式，例如：
與—或表達(dá)式
或—與表達(dá)式
與非—與非表達(dá)式
或非—或非表達(dá)式
與—或非表達(dá)式
在上述多種表達(dá)式中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。因此，在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，通常是將邏輯式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式，然后再根據(jù)需要轉(zhuǎn)換成其他形式。
(2)最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)
①與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號(hào)最少。
②每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·”號(hào)最少。
(3)用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)
用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，就是直接利用邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)。代數(shù)法化簡(jiǎn)沒(méi)有固定的步驟，常用的化簡(jiǎn)方法有以下幾種。
①并項(xiàng)法。運(yùn)用公式a +/a=1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。如
②吸收法。運(yùn)用吸收律a+ab=a消去多余的與項(xiàng)。如
③消去法。運(yùn)用吸收律消去多余的因子。如
④配項(xiàng)法。先通過(guò)乘以a+ /a（=1）或加上a/a（=0），增加必要的乘積項(xiàng)，再用以上方法化簡(jiǎn)。如
在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)。