可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀是近幾年才出現(xiàn)的一種加工空間自由曲面的*刀具，它除具有可轉(zhuǎn)位刀具的所有優(yōu)點外，與整體式球頭立銑刀相比，由于各搭接刀片將圓弧刃分段進行切削，大大改善了圓弧刃非自由切削的不良狀態(tài)，減小了非自由系數(shù)，從而使切削力得以減小。
世界上各工業(yè)發(fā)達國家的有關(guān)廠家先后研制出各種品種與規(guī)格的可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀，較的有瑞典的sandvik公司、德國的walter公司、ingersoll公司以及日本的三菱株式會社等。國內(nèi)有個別廠家使用*生產(chǎn)可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀，也有極少數(shù)廠家進行過試制，但由于缺少相關(guān)理論與技術(shù)，均未開發(fā)出具有競爭力的產(chǎn)品。為了彌補這種不足，作者對可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀進行了深入系統(tǒng)的研究，以期提高國內(nèi)生產(chǎn)可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀的理論技術(shù)水平。
縱覽國內(nèi)外相關(guān)資料，尚無可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀的理論計算與造形的有關(guān)報
道。借助于幾何造形的基礎(chǔ)理論，并結(jié)合整體式球頭立銑刀端刃的某些優(yōu)點，本文建立了可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀端刃幾何造形的數(shù)學(xué)模型，使用該模型，可計算出刀體上端刃刀片槽的加工調(diào)整參數(shù)、刀片圓弧半徑以及切削角度沿銑刀端刃的分布情況。
一、數(shù)學(xué)模型
圖1 坐標(biāo)系
有良好切削性能的整體式球頭立銑刀具有s型端刃（如圖1），若使可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀的端刃也具有類似于整體式球頭立銑刀的s形端刃，可將刀片的切削刃沿整體式球頭立銑刀的s形刃安裝搭接，此時，刀片上某點的切線應(yīng)與整體式球頭立銑刀s形端刃的對應(yīng)點的切線重合，再使刀片沿該切線旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，以形成所需的前角與后角。
由于s形刃的對稱性，現(xiàn)以s形刃的前半部分進行研究。如圖1建立銑刀坐標(biāo)系oo-xyz與刀片坐標(biāo)系oo-xoyozo，銑刀系中，oz軸與銑刀軸線重合，球面半徑為r，又設(shè)刀片前刀面為平面并位于刀片系的yozo平面內(nèi)，刀片后刀面為錐面，設(shè)半錐角為b，錐面的軸線垂直于刀片前刀面，前刀面與后刀面的交線為圓弧形切削刃，設(shè)半徑為r，將切削刃的中點置于o0點。
1.整體式球頭立銑刀s形端刃切幺矢
據(jù)國外資料介紹，整體式球頭立銑刀較理想的s形端刃應(yīng)是正交螺旋面所形成的前刀面與球面的交線。在銑刀坐標(biāo)系o-xyz中，正交螺旋面的方程可寫成
（1）
式中
rx，q——參變量
pz——螺旋面導(dǎo)程
由于端刃既在正交螺旋面上，又在球面上，因此它必然滿足
z2＋y2＋z2＝r2 （2）
式中
r——球面半徑
將式（1）代入式（2），并整理化簡后有
rx＝r 2 （3）
式中 m＝
w1——半徑為r圓柱面上的螺旋角
將式（3）代入式（1），便得到以參數(shù)q表示的端刃曲線方程
（4）
由微分幾何學(xué)知，端刃曲線上任意一點的切線矢量t為
（5）
其切幺矢
t0= （6）
式中｜t｜＝ （7）
將式（5）與式（7）代入式（6）有
（8）
b>2.刀片安裝參數(shù)計算
如圖2所示，在s形刃上任選一點m，將刀片連同其坐標(biāo)系移動，使o0點與m點重合，并且使x0軸平行于x軸；y0軸平行于y軸；z0軸平行于z軸。在刀片坐標(biāo)系中，刀片o0點的切幺矢即為z0軸上幺矢的反方向。首先使刀片連同其坐標(biāo)系繞x0軸反轉(zhuǎn)w角，使刀片系成為o0-x0y1z1，然后再使刀片系繞y1軸反角成為o0-x1y1z2，假設(shè)此時刀片系上的z2軸正好與銑刀s形刀m點處的切線矢量重合，s形刃上的切幺矢必與z2軸上的幺矢相等，將z2軸上的幺矢寫在銑刀坐標(biāo)系中有
r＝ax0（－）ay1（－）r1 （9）
式中ax0（－w），ay1（－）為坐標(biāo)變換矩陣，可寫成
ax1，y1
圖2 刀片安裝旋轉(zhuǎn)變換
而 r＝［0 0 1］t 將上兩式代入式（9），便得到z2軸上的幺矢在銑刀坐標(biāo)系o-xyz中的表達式
r＝ （10）
由于z2軸已與銑刀s形刃的切線重合，z2軸上的幺矢必與s形刃上m點的切幺矢相等，在同一坐標(biāo)系內(nèi)的各分量亦應(yīng)相等，對照式（8）與式（10）可得到
（11）
（12）
zui后再使刀片隨同其坐標(biāo)系繞z2軸正轉(zhuǎn)y角到達o0－x2y2z2的位置，此時刀片便安裝在刀體上。調(diào)整角的大小，可使銑刀的前角與后角按需要進行調(diào)整。顯然，顯然，旋轉(zhuǎn)角w和y就是銑刀刀體刀片槽的加工調(diào)整參數(shù)，只是在加工刀片槽時，不是刀片轉(zhuǎn)動，而是刀體沿反方向轉(zhuǎn)動w、與y值。
3.刀片圓弧半徑的確定
圖3 球面方程
理論的刀片圓弧半徑r應(yīng)為刀片安裝在刀體上之后，刀片前刀面與球面的交線圓半徑。如圖3所示，在銑刀坐標(biāo)系中，球面的方程可寫成
r＝ （13）
式中 y，q——參變量
令 （14）
銑刀系o-xyz與刀片系o0-x2y2z0間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為
r＝＋ax0，y1，z2（－，－f，）r2 （15）
式中，ax0，y1，z2（－w，－f，y）為坐標(biāo)變換矩陣，其表達式為
ax0y1z2（－，－f，y）＝ （16）
式中
a11＝cosfcosy
a12＝－cosfsiny
a13＝－sinf
a21＝sinwsinfcos＋coswsiny
a22＝－sinwsinfsin＋coswcosy
a23＝sinwcosf
a31＝coswsinfcos－sinysin a32＝－coswsinsiny－sinwcos
a33＝coswcosf
將式（16）代入式（15）有
r＝
或 r2＝ （17）
將式（13），（14）代入式（17），便得到球面在刀片系o0-x2y2z2中的表達式為
（18）
因為理論的刀片圓弧半徑應(yīng)為安裝后的刀片前刀面與球面的交線圓半徑，令式（18）中的x2＝o有
a11cosycos＋a21cosysinq＋a31siny ＝
上式可寫成
dcosy＋esiny＝b （19）
式中 d＝a11cosq＋a21sinq
e＝a31
b＝
解方程（19）有
tgy＝ （20）
將式（20）代入式（18）中y2，z2的表達式中便得到以參數(shù)表示的刀片前刀面與球面交線圓的方程，在交線圓上任取三點便可求得刀片圓弧半徑r。
4.銑刀端刃切削角度計算
如圖1b所示，在刀片坐標(biāo)系o0-x0y0z0中，刀片圓弧刃上任意點p的切幺矢可表示為
sp＝［0 －sinu cosu］t
前刀面上的法前角幺矢為
γpn＝［0?。璫osu －sinu］t
后刀面上的法后角幺矢為
apn＝［－cosb?。璼inbcosu －sinbsinu］t
將和轉(zhuǎn)換到銑刀坐標(biāo)系中有
sp2＝ax0，y1，z2（－w，－f，）sp＝
γpn2＝ax0，y1，z2（－w，－f，y）γpn＝
apn2＝ax0，y1，z2（－w，－f，）apn＝
在銑刀坐標(biāo)系o-xyz中，刀片切削刃上任意點p處的切削速度幺矢v0為
v0＝［sinq?。璫osq 0］t刀刃上任意點處的刃傾角ls，法前角γn與法后角an為
sinls＝sp2·v0＝－a12sinusin＋a13cosusinq＋22sinucosq－a23cosucos （21）
sinrn＝ （rpn2u0）＝ （－a12cosusinq－a13sinusinq＋a22cosucosq＋a23sinucos） （22）
cosan＝ （apn2u0）＝ （-a11cosbsin-a12sinbcosusin-a13sinbsinusin+ +a21cosbcos+a22sinbcosucos+a23sinbsinucos）
（23）
以下求參數(shù)u與q間的關(guān)系式。在刀片坐標(biāo)系o0－x0y0z0中，刀片切削刃的圓弧方程可寫為
r0＝
將上述方程轉(zhuǎn)換到o0－x2y2z2坐標(biāo)系中，有
r2＝ax0，y1，z2（－ face=symbol>q，－f，y）r0＝
因刀片圓即為前刀面與球面的交線圓，同一坐標(biāo)系中相同點的對應(yīng)坐標(biāo)應(yīng)相等，參照式（18）有
a13（rcosycosq－xm）＋a23（rcosysinq－ym）＋a33（rsiny－zm）＝a32r（cosu＋1）＋a33rsinu （24）
式（24）中的參數(shù)y可由式（20）求得。上式即為參數(shù)u與的關(guān)系式，只要給出u值便可由上式求得對應(yīng)的q值，進而由式（21）、（22）和（23）計算出銑刀切削角度ls，rn和an的值。
二、計算實例設(shè)球頭半徑r＝25mm，刀片后刀面半錐角b＝15°,長22mm,寬16mm，在s形刃上選取q＝8°的一點m。其計算結(jié)果為：xm＝22.862mm，rm＝3.213mm，zm＝9.591mm；加工調(diào)整角w＝－15.378°；f＝－23.833°；y＝95°；刀片圓弧半徑r＝24.947mm，切削角度沿銑刀切削刃的分布情況見下表。
三、分析與討論 通過適當(dāng)選擇加工調(diào)整角y的值，可改變法前角γn、法后角an以及刀片圓弧半徑r的理論值，這樣可使在不同安裝位置上刀片的圓弧半徑接近相等，從而減少刀片規(guī)格；
改變s形刃上基準(zhǔn)點m的位置，可使各刀片間進行合理的搭接；
改變正交螺旋面的螺旋角w1的值，可改變銑刀的刃傾角s；
從表可知，隨q角的增大，刃傾角s和法前角γn均增大，而法后角n將減小，但增大和減小的量均不大；
本文僅對s形端刃的前半部分進行計算，只要將銑刀繞其軸線旋轉(zhuǎn)180°，后半部分s形刃的切幺矢計算
與此*相同；
本模型適用于平裝刀片，但只要改變刀片前、后刀面的形狀，本模型亦可用于立裝刀片可轉(zhuǎn)位球頭立銑刀加工調(diào)整參數(shù)的計算。