一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)
設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，輸入隨機(jī)過(guò)程為，則輸出隨機(jī)過(guò)程等于與的卷積，即
1.輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望
假設(shè)輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其均值為，經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸后，輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望為
輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望等于輸入隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望乘以。
物理意義：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，輸出的直流分量等于輸入的直流分量 乘以系統(tǒng)的直流傳遞函數(shù)。
2.輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)
輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為
更換上式中數(shù)學(xué)期望各積分的次序，可改寫為
因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，則有
于是
可見(jiàn)，輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)只依賴與時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。
結(jié)論：當(dāng)輸入隨機(jī)過(guò)程是廣義平穩(wěn)時(shí)，輸出隨機(jī)過(guò)程也是廣義平穩(wěn)的。
3.輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度
設(shè)輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度為。
令，則有，代入上式得
由于
得
線性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度是輸入隨機(jī)過(guò)程功率譜密度與線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)模平方的乘積。
二、隨機(jī)過(guò)程通過(guò)乘法器
在通信系統(tǒng)中廣泛使用的線性調(diào)制器和相干解調(diào)器，其主要部件是乘法器。下面我們要分析平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)乘法器后，輸出過(guò)程如何？
乘法器可以看成是一個(gè)六端口網(wǎng)絡(luò)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)乘法器的數(shù)學(xué)模型如圖3.7.2所示。
三、乘法器模型
乘法器的輸出為
從廣義平穩(wěn)判定條件可知，若要判是否平穩(wěn), 要看其數(shù)學(xué)期望（均值）是否為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是否與無(wú)關(guān)而只和時(shí)間間隔有關(guān)。
1. 輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望
常數(shù)
所以不再是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。
2. 輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)
但是卻是時(shí)間的函數(shù)，因此說(shuō)明經(jīng)過(guò)乘法器后的隨機(jī)過(guò)程不再是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。但輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間的周期函數(shù)，則為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。
3．輸出隨機(jī)過(guò)程的平均功率譜密度
非廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度的定義為
將它代入上式后得
因?yàn)?br>應(yīng)用調(diào)制定理就可以得到通過(guò)乘法器后輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度。即
其功率譜密度如圖3.7.3所示。
圖3.7.3 乘法器輸入輸出的功率譜密度
結(jié)論：低頻平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)乘法器，其輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入隨機(jī)過(guò)程功率譜密度在頻率軸上搬移到和處，且幅度減小為原來(lái)的1/4。